Page 273 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

Аналіз отрима-
них розв’язків (3.267,
а) і (3.268, а) дифере-
нціального рівняння
(3.266) дає таку кар-
тину зміни координа-
ти q з часом, яка зо-
бражена на рис. 88.
Вигляд кривих зале-
жить від початкових
умов. Зображені криві Рис. 88
відповідають додат-
ній початковій координаті ( q  0) для різних значень почат-
0
кової швидкості. Графік 1 відповідає випадку q  0  0, а графі-
ки 2 і 3 – випадку, коли q  0  0 , причому 2 має місце при q 
0
малому, а 3 – при q  великому. В усіх випадках при зростан-
0
ні часу t узагальнена координата асимптотично прямує до ну-
ля, тобто система наближається до рівноважного положення.
Отже, у випадку n  збурення системи з положення стійкої
k
рівноваги не викликає її коливний рух. Рух системи буде апе-
ріодичним.
k
3. n  (випадок малого опору).
В даному випадку корені характеристичного рівняння за-
пишуться так:
2
2
2
2
z   n  n  k   n i  k  n ,
1, 2
тобто вони є комплексно-спряжні. В такому випадку загаль-
ний розв’язок диференціального рівняння (3.266) має вигляд
q  e nt  cos k 2  n 2 t  C sin k 2  n 2  
C
 t . (3.269 а)
 1 2 
Якщо сталі інтегрування C 1 i C , які можна визначити з
2
початкових умов, представити виразами
C  A sin  ; C  A cos  ,
1 2
то рівняння (3.269, a) запишеться у вигляді
q  Ae nt sin   k 2  n 2 t    . (3.269 б)
 

266