Page 277 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

де Q  Q  t є узагальненою силою сторонніх, збурюючих сил.
Вона може змінюватись за будь-яким законом. Практично
найбільш важливим є випадок, коли збурююча сила змінюєть-
ся за гармонічним законом
Q  H sin t , (б)
де H – амплітуда збурюючої сили;  – її частота.
Підставляючи (б) в (а) і розділивши на “а”, отримаємо

 
q 
q  2 n k 2 q  h sin t , (3.275)
2
де n 2 b a ; k  c a ; h  H a .
Рівняння (3.275) є диференціальним рівнянням вимушених коливань
системи з одним ступенем вільності. З математичної точки зору дане рів-
няння є лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням з постійними
коефіцієнтами. Його загальний розв’язок дорівнює сумі двох доданків
* *
*
q  q  q , (в)
*
де q – загальний розв’язок відповідного однорідного рівнян-
* *
ня; q – частковий розв’язок неоднорідного рівняння.
Загальний розв’язок однорідного рівняння
q  *  2 qn *  k 2 *  0
q
згідно з попереднім параграфом залежить від співвідно-
шення між n i k . Для n  (випадок малого опору) він має
k
вигляд (3.269, а)
2
2
*
q  e  nt C 1 cos  k  n 2 t   C 2 sin  k  n 2  t  . (г)
Частковий розв’язок неоднорідного рівняння будемо шу-
кати у вигляді
q * *  B sin  t   . (д)
Для визначення B i  підставимо цей розв’язок у рівнян-
ня (3.275)
2 2
 B sin  t    2 Bn cos  t    Bk sin  t     h sin t
і після заміни
 t      t   

270