Page 268 - 79

Деякі спеціальні питання динаміки

q a   qb  cq  0 . (3.261)

Якщо не враховувати опору ( b 0 ), то матимемо дифере-
нціальне рівняння власних коливань механічної системи з од-
ним ступенем вільності без врахування сил опору
q a   cq  0 . (3.262)

В даному рівнянні a – коефіцієнт інерції системи; c –
узагальнений коефіцієнт жорсткості системи. Щоб рівняння
(3.262) мало нетривіальний (ненульовий) розв’язок, необхідно
задати ненульові початкові умови

для t 0  0q  q 0 , q   0  q  . (а)
0
Поділивши всі члени рівняння (3.262) на a , запишемо йо-
го у формі
q   k 2 q  0 , (3.262, а)
де
c
2
k  , (б)
a
k – кругова частота коливань. Нижче вона називається
просто “частотою”.
З математичної точки зору рівняння (3.262) є лінійним
однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі
сталими коефіцієнтами. Його розв’язок шукаємо методом під-
zt
становки Ейлера q  C e  , де C і z – сталі, які потрібно зна-
йти. Підставляючи q в рівняння (3.262, a), для знаходження z
отримаємо рівняння
2 2
z  k  0 ,
яке має назву характеристичного рівняння або рівняння
частот. Корені цього рівняння
2
z 1 ,2    k   ik
є чисто уявними, а це означає, що загальний розв’язок рівнян-
ня (3.262 а) має вигляд
q  C 1 cos kt  C 2 sin kt , (3.263, а)

261