Page 269 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

де C 1 , C – сталі інтегрування, які визначаються з початкових
2
умов (а).
Розв’язку (3.263, а) можна надати й іншого вигляду. Для
цього введемо такі позначення:
C  A sin  ; C  A cos  ,
2
1
Підставивши ці значення C 1 , C в формулу (3.263, а),
2
отримаємо
q  A sin  kt  . (3.263, б)
Оскільки рух за законом синуса або косинуса називається
гармонічним коливанням, то із залежності (3.263, б), яка є
розв’язком диференціального рівняння (3.262), можна зробити
висновок, що власні коливання механічної системи з одним
ступенем вільності за відсутності сил тертя є гармонічними.
Амплітуда A і початкова фаза  цих коливань, як і сталі
інтегрування, визначаються з початкових умов. Для цього ви-
значаємо швидкість системи
q   Ak cos  kt  , (в)

після чого початкові умови (а) підставляємо в формули
(3.263, б) і (в)
 q 0  A sin ;

 q  0  Ak cos .
З отриманої системи двох рівнянь знаходимо A і 
2 2 2
A  q  q  0 k , (г)
0
kq
tg  0 . (д)
q  0
Як бачимо, амплітуда і початкова фаза власних коливань
системи визначаються початковими умовами. Якщо початкове
зміщення системи від положення рівноваги дорівнює нулеві
( q 0  0), то початкова фаза також дорівнює нулеві (  0 ).
2
Оскільки k  c a (формула (б)), то циклічна частота і
період вільних коливань визначаються формулами

262