Page 25 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

n
 m  M (формула 3.6),
i
i1
n
 m i y  My (формули 3.10),
c
i
i1
а y c  0 , бо початок координатних осей знаходиться в центрі
мас заданої системи, остаточно матимемо
2
I Z 1  I Cz  Md , (3.22)
що і треба було довести.
З формули (3.22) видно, що із сукупності паралельних
осей найменший момент інерції має система відносно осі, яка
проходить через її центр мас.
За допомогою формул (3.17) і (3.21) легко показати (читачеві про-
понується це проробити самостійно), що центр мас системи є полюсом,
відносно якого задана система має найменший полярний момент інерції.
Тому центр мас системи часто називають її центром інерції.

§ 8 Моменти інерції деяких однорідних тіл

Знайдемо моменти інерції деяких простих однорідних тіл,
що часто зустрічаються в задачах механіки і є елементами
складних конструкцій. Оскільки маса в тілах, що будуть роз-
глядатися, розподілена неперервно, то обчислення їх моментів
проведемо за допомогою формули (3.12).

1. Тонке кільце (кругле тіло, маса якого розподілена
по його ободу).
На рис. 8 зображене тонке однорідне кільце маси M і ра-
діуса R . Координатні осі проведені так, що їх початок знахо-
диться в центрі кільця C , а вісь Cz — перпендикулярна до
площини кільця. При такому розміщенні координатних осей
відстань h будь-якої елементарної частини кільця маси dm як
до осі Cz , так і до точки C дорівнює радіусу R кільця, а це
означає, що моменти інерції кільця відносно точки C і осі Cz
будуть однаковими
I  I  h 2 dm  R 2 dm  R 2 dm  MR 2 ,,
c z   
 M  M  M

25