Page 23 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

§ 7 Теорема про моменти інерції відносно
паралельних осей (теорема Гюйгенса)
Залежність між моментами інерції відносно паралельних осей зу-
стрічається в роботах Х.Гюйгенса (Д-5). Строге доведення даної теореми
було дано лише в 1763 р. Л.Ейлером
(Д-6). Однак деякі автори, особливо автори підручників з фізики, цю тео-
рему необгрунтовано називають теоремою Штейнера, який працював в
області проективної геометрії і цієї теореми не доводив.

Теорема.
Момент інерції механічної системи відносно де-
якої осі дорівнює сумі моменту інерції цієї сис-
теми відносно осі, що проходить через центр
мас системи паралельно заданій осі, і добутку
маси системи на квадрат відстані між осями.

Для доведення теореми розглянемо механічну систему S
і проведемо деяку вісь Az (рис. 7). Через центр мас системи
1
C проведемо три взаємно перпендикулярні осі, з яких вісь Cz
паралельна заданій осі Az , а вісь Cy перетинає її в деякій то-
1
чці A . Відстань між осями Az і Cz позначимо d , тобто
1
1
A C  d . Для визначення моменту інерції системи S відносно
1
осі Az розглянемо довільну точку системи K i  ,x i y i z , i  і по-
1
значимо:
K E   — відстань її до осі Az ;
i i 1
K L  h — відстань до осі Cz .
i i
Виразимо величини цих відстаней через координати точ-
ки K . З рис. 7 видно, що:
i
2 2 2 2 2 2 2
h  K i L  CD  BC  BD  x  y ,
i
i
i
2 2 2 2 2 2 2
 i  K i E  A 1 D  A 1 B  BD  x i  y i  d  
2 2 2 2 2
 x  y  2 y i d  d  h  d  2 dy .
i
i
i
i
Отже,
2 2 2
 i  h  d  2 dy . (а)
i
i

23