Page 204 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

§ 36.4 Принцип Гамільтона

Дійсний рух консервативної системи з одного положення в
інше за деякий проміжок часу відрізняється від кінематичного
можливого руху даної системи з того самого початкового поло-
ження в задане кінцеве положення за цей же самий проміжок
часу тим, що дія системи за Гамільтоном, визначена для дійсно-
го руху, стаціонарна.
В курсі варіаційного числення доводиться, що необхід-
ною умовою існування стаціонарності (максимуму, мінімуму,
сталості) функціонала, що визначається рівністю (3.217), є рі-
вність нулеві його першої варіації, тобто:
 W  0 . (3.218)
Рівність (3.218) математично виражає принцип Гамільто-
на. Враховуючи (3.217) цей принцип, можна записати ще так:
t 2
  L dt  0 . (3.219)
t 1
Для обгрунтування цього принципу розглянемо консерва-
тивну механічну систему, яка має s ступенів вільності і яка за
деякий проміжок часу  ;t t  перемістилась з положення 1 в
1 2
положення 2. Дія системи на цьому переміщенні визначається
рівністю (3.217)
t 2
W  L dt . (а)

t 1
Знайдемо варіацію цієї дії
t 2 t 2

 W    L dt   L dt . (б)
t 1 t 1
Тут враховано, що варіація від інтеграла деякої функції
дорівнює інтегралу від варіації даної функції. Якщо врахува-
ти, що функція Лагранжа розглядуваної системи загалом є
функцією s узагальнених координат і швидкостей, тобто:
L  L q k q ,  k  t , ,

76