Page 205 - 79

Загальні теореми динаміки

де k  1 ,2 , ..., s , то згідно з рівністю (з) (див. § 36.1) матимемо,
що
s d   L  s  d  L  L 
 L    q        q . (в)


k 
k
dt  q   dt q   q 
k1  k  k 1 k k 
Підставимо (в) в рівність (б) і врахуємо, що інтеграл від
суми дорівнює сумі інтегралів
s t 2 d   L  s t 2  d  L  L 
 W       q  dt        q  dt .
k
k 

k1 t 1 dt  q  k  k1 t  dt q   k q  k 
1
Проінтегрувавши перший вираз, отримаємо
s L t 2 s t 2  d L L 
 W    q k        q k dt . (г)

k 1 q  k t 1 k  1 t 1 dt q  k q k 
Оскільки положення системи 1 і 2 фіксовані (див. рис.
71), то q  0 ; q  0 k  , 2 , 1 ...  s .
k t t 1 k t t 2
Тоді перший доданок правої частини рівності (2) зникає і
отримуємо
s t 2  d L L 

 W        q k dt . (д)

k  1 t 1 dt q  k q k 
Якщо отриманий вираз застосувати для справжнього і кі-
нематично можливого переміщення системи з положення 1 в
положення 2 (рис.71) за один і той же проміжок часу, то ма-
тимемо:
для справжнього переміщення, координати якого задово-
льняють рівняння Лагранжа другого роду (3.198), W  0 ;
для кінематично можливого переміщення, координати
якого не задовольняють рівняння Лагранжа другого роду,
 W  0 .
Отже, принцип обгрунтовано. Вперше це зробив Гаміль-
тон в 1834 р. Незалежно від нього і в більш загальній формі,
яка охоплює неконсервативні системи і системи з нестаціона-
рними в’язями, принцип був доведений М.В.Остроградським (Д-
15) в 1848 р. В стислій формі його можна сформулювати так:

Серед всіх можливих траєкторій руху справжня траєкто-

77