Page 206 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

рія виділяється тим, що для неї дія за Гамільтоном набуває ста-
ціонарного значення.
Яке стаціонарне значення, тобто, чи буде значення інтег-
рала (3.217), вирахуване на дійсному шляху, максимальне чи
мінімальне порівняно зі значеннями на кінематично можливих
шляхах? Відповідь на це запитання виходить за межі даної
книги. В багатьох випадках це значення мінімальне, а тому
даний принцип (рів.3.219) часто називають принципом най-
меншої дії.
Як приклад, розгля-
немо вільне падіння тіла
під дією сили ваги в сис-
темі координат, вісь Oz
якої напрямлена вертика-
льно вниз (рис. 72).
Покажемо, що дія за
t 2
Гамільтоном W  L dt

Рис. 72 O
1 2
набуває мінімального значення для дійсного руху z  gt
2
n
порівняно з рухами типу z  a n t ( n 0). Прийнявши за ну-
n
льовий рівень потенціальної енергії координатну площину
Oxy , вирахуємо функцію Лагранжа для можливого руху,
швидкість якого V  z  n  a n nt n 1  ,

mV 2 1
n
L  T  П    mgz n   ma n 2 n 2 t 2 n2  mga n t .
2 2
З умов співпадання кінцевого і початкового положень та
рівності часів дійсного і можливого рухів маємо
z  0  z  0  ;
0
n
1 1
n
2
z  t   t z  a t  gt  a  gt 2  n .
n 2 2 n 2 2 n 2
2 2
Підставивши значення a у функцію Лагранжа, отримаємо
n
78