Page 197 - 79

Загальні теореми динаміки

 H  H


q  ; p    Q k З k  , 2 , 1 ... s (3.216, а)
k
k
p  q 
k k
Рівняння (3.216, а) — рівняння Гамільтона для некон-
сервативної механічної системи.
Канонічні рівняння механіки еквівалентні рівнянням Лаг-
ранжа другого роду, адже вони, як і рівняння Лагранжа друго-
го роду, в диференціальному вигляді описують рух систем.
Однак вони є системою s2 звичайних диференціальних рів-
нянь першого порядку, які розв’язані відносно похідних від
шуканих функцій q і p . Цим і пояснюється введення тер-
k
k
міну “канонічні рівняння”. Порядок даної системи s2 дорів-
нює порядку рівнянь Лагранжа другого роду, але порівняно з
останніми вони мають ряд переваг. По-перше, рівняння
(3.216) і (3.216, а) є диференціальними рівняннями першого
порядку; по-друге, базовими змінними в цих рівняннях є па-
раметри q k p , k , які не втрачають свого змісту і при переході
до інших систем, наприклад, до квантово-механічних систем.
Завдяки цьому дані рівняння отримали широке застосування
при дослідженні різноманітних загальних питань механіки,
особливо небесної механіки, теоретичної фізики. Вони вико-
ристовуються в теорії автоматичного регулювання.
При розв’язуванні задач механіки методом складання ка-
нонічних рівнянь дотримуються такої послідовності дій:
1. Визначають число ступенів вільності заданої матері-
альної системи.
2. Вибирають відповідну кількість узагальнених коор-
динат.
3. Складають функцію Лагранжа L  T  П розгляду-
ваної системи.
4. За формулою (3.199) визначають узагальнені імпуль-
си системи.
5. За формулою (3.212) (для склерономної системи мо-
жна використати формулу (3.213)) складають функ-

цію Гамільтона H розглядуваної системи.
6. В отриманому виразі для функції Гамільтона уза-
гальнені швидкості q  виражають через узагальнені
k

69