Page 192 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

§ 35 Канонічні рівняння механіки
В даному параграфі розглядаються рівняння, які в межах
класичної механіки еквівалентні рівнянням Лагранжа другого
роду, але записуються вони в змінних, які були запропоновані
Гамільтоном (Д-14) і які зберігають свій зміст при розгляді
квантово – механічних явищ.
§ 35.1 Канонічні змінні
В теорії Лагранжа основними змінними, які визначають
стан системи, що має s ступенів вільності, є час t , узагальне-
ні координати  q q , , ..., s  і узагальнені швидкості
1 2
 ,q  1 q 2 , ..., q  s . Змінні t q , k q ,  k , k  1 ,2 , ...,  s , за допомогою
яких визначається стан системи, називаються змінними Лаг-
ранжа, або лагранжевими координатами. Але стан системи
можна визначити і за допомогою інших параметрів. Як пока-
зав Гамільтон, для вирішення багатьох задач механіки стан
системи ефективніше визначати за допомогою часу t , уза-
гальнених координат q і узагальнених імпульсів p , що ви-
k
k
значаються за формулою (3.199), яку, враховуючи, що потен-
ціальна енергія системи не залежить від її узагальнених швид-
П
костей, тобто  0 , можна записати так:
 q  k
 T
p  . (3.210)
k
 q  k
Змінні ,t q k p , k k  1 ,2 , ...,  s називаються змінними Га-
мільтона, або канонічними змінними. Сутність останнього
терміну виясниться в подальшому.
Змінні Гамільтона можуть бути виражені через змінні Лагранжа і,
навпаки, за допомогою системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що отри-
муються з формул (3.210) і (3.201). Для склерономної системи, кінетична
енергія якої визначається формулою (3.203), ця система алгебраїчних рів-
нянь має вигляд
s
a
p k   k j q  j , k  .21 , ..., s . (3.211)
 j 1

64