Page 193 - 79

Загальні теореми динаміки

Рівності (3.211) є системою s неоднорідних рівнянь від-
носно q  . Згідно з цими рівняннями узагальнені імпульси лі-
j
нійно виражаються через узагальнені швидкості. Визначник
системи рівнянь (3.211) для рухомої механічної системи зав-
1
жди відмінний від нуля . Розв’язавши її відносно q  , отрима-
j
ємо систему лінійних рівнянь

j 
q  A k j p k , j  1 ,2 , ..., s , (3.211а)
в якій узагальнені швидкості виражені через узагальнені
імпульси, а це означає, що за допомогою (3.211а) можна
будь-яку функцію від змінних Лагранжа
F  F  q,t k q ,  k 

після підстановки в неї замість узагальнених швидкостей
виразів (3.211а) перетворити у функцію
 
F  F  q,t k p , k 

від змінних Гамільтона. Тут і надалі дужкою  позначають
функції, отримані внаслідок заміни на основі (3.211а) узагаль-
нених швидкостей  q  узагальненими імпульсами  p . Фу-
 k k
нкції  q,tF k p , k  часто називають союзним виразом функції
F  q,t q  . Очевидно
k k

F  q,t k p , k   F  q,t k q ,  k ,
бо значення функції не зміцнюється при переході до нових
змінних.
Наприклад, для матеріальної точки, що знаходиться в по-
тенціальному полі, функція Лагранжа в узагальнених коорди-
натах має вигляд
1
2
L  T  П  m x   2 y  z  2  П  yx ,,  z . (а)
2
Узагальнені імпульси точки

1
Доведення цього твердження див., наприклад: М.О. Кільчевський. Курс
теоретичної механіки. – М. 1977. – т.2 – с.143-144, або Ф.Р. Гантмахер.
Лекції з аналітичної механіки. – М.1966. – с.53-55.

65