Page 194 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

 L  L  L
z .
p   m , x  p   m , y p   m
z
x
y
 x   y   z 
Виразивши узагальнені швидкості через узагальнені ім-
пульси
p p y p

y 
x  x ,  ,  z
z 
m m m
і підставивши їх значення в (а), отримаємо союзний вираз
функції Лагранжа
 1
2
2
L  p  p  p 2 z  П  yx ,,  z .
x
y
2 m
§ 35.2 Функція Гамільтона
В узагальнених координатах стан системи характеризу-
ється функцією Лагранжа (3.197), яка залежить від часу t ,
узагальнених координат q і узагальнених швидкостей q  си-
k
k
стеми. В канонічних змінних стан системи характеризується
функцією Гамільтона, загальний вираз якої для системи з s
ступенями вільності має вигляд
s

H   p  L, (3.212)
q 
k k
k1
в якому, як правило, узагальнені швидкості q  за допомогою
k
рівностей (3.211а) виражаються через узагальнені імпульси

p . Внаслідок такої зміни H стає функцією тільки гаміль-
k
тонових змінних і будемо її позначати просто  qtH , k p , k 

H  q,t k p , k   H *  q,t k p , k .

Функція Гамільтона H порівняно з функцією Лагранжа
L має більш глибокий фізичний зміст. Для розкриття фізич-
ного змісту функції Гамільтона запишемо її для склерономної
системи, узагальнені імпульси якої визначаються рівністю
(3.211). Врахувавши це, а також формулу (3.197), матимемо
s s s
H    p k q  k  L   a k j q  k q  j    ПT .
k 1 k  j1 1

66