Page 186 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

p  const , (3.200)
j
тобто, узагальнений імпульс циклічної координати є інте-
гралом руху.
Таким чином, отримано один з методів, за допомогою
якого, не інтегруючи диференціальних рівнянь руху системи,
можна отримати деяку інформацію про стан системи. Сут-
ність цього методу полягає в аналізі функції Лагранжа меха-
нічної системи. Якщо цей аналіз покаже, що функція Лагран-
жа явно не залежить від деякої узагальненої координати, то
відповідний узагальнений імпульс є інтегралом руху, тобто за
час руху системи не змінюється ( p  const ).
j
Наприклад, функція Лагранжа матеріальної точки, що
знаходиться в полі сили ваги, визначається формулою
m V 2 1
2
L  T  П   mgz  m x   2 y  z  2  mgz
2 2
і явно не залежить від координат x і y , а це означає, що для
даної точки
p  const, p  const .
x
y
§ 33 Кінетична енергія системи
в узагальнених координатах
З попереднього випливає, що для отримання диференціа-
льних рівнянь руху механічної системи способом складання
рівнянь Лагранжа другого роду необхідно виразити кінетичну
енергію системи в узагальнених координатах.
Для цього використаємо вираз (3.104) для кінетичної ене-
ргії механічної системи, що складається з n матеріальних точок
n m V 2 1 n  
T  i i   m V i V . (а)

i
i
2 2
i 1 i 1
Якщо система має s ступенів вільності, то швидкість її
точок в узагальнених координатах виражається залежністю
(3.182), тобто:
  r  s  
r
V i  i   i q  ,
k
t  k1  q k
58