Page 181 - 79

Загальні теореми динаміки

Отримаємо диференціальне рівняння руху механічної си-
стеми, на яку накладені голономні в’язі. Для цього розглянемо
механічну систему, що складається з n точок і має s ступенів
вільності, узагальнені координати якої q 1 q , 2 ,..., q . Рівнодійну
s

всіх сил, що діють на i -у точку системи, позначимо F . За
i
другим законом Ньютона для кожної точки системи має місце
рівність
 
m i a  F i , i  1 ,2 , ..., n.
i

 r
Дану рівність скалярно помножимо на вираз i і про-
 q k
сумуємо по всіх точках системи
 
n   r n   r
 m i a i i   i i . (а)
F
 i 1  q k  i 1  q k
Права частина рівності (а) виражає узагальнену силу Q .
k
Виконаємо елементарні перетворення лівої її частини
   
n   r n d V r n  d    r 
 m i a i i   m i i i   m i  V i i  



 i 1  q k  i 1 t d  q k  i 1  t d  q k 
  
 d  r  n d    r  n  d  r
 V i i    m i V i i    m V i i 
i
t d q k    i 1 t d    q k   i 1 t d  q k

r
d n    n  d  r 
  m V i i   m V i i .
i
i
t d i1  q k i1 t d  q k
Рівняння (а) з врахуванням зроблених перетворень набуває
вигляду  
d n   r i n  d  r i
 m V i   m V i  Q . (б)
k
i
i
t d  q t d  q
i1 k i1 k
Якщо до отриманої рівності застосувати тотожності Лаг-
ранжа (3.184) і (3.185)
   
r д  V d  r  V
i i i i
 ,  ,
дq k  q  k t d  q k  q k
то матимемо
53