Page 182 - 79

Теоретична механіка. Динаміка
 
d n  V i n   V i
 m V i   m V i  Q ,
i
k
i
t d i1  q  k i1  q k
або
 
d n   V 2  n   V 2 
 m i  i    m i  i   Q . (в)
k
t d  q   2   q  2 
i1 k   i1 k  
Маси точок системи не залежать від узагальнених коор-
динат і узагальнених швидкостей, отже їх можна внести під
знаки похідних, а самі похідні винести за знак суми, бо сума
похідних — це похідна від суми
d  n m V i 2  n m V i 2
i
i
    Q .
k
t d  q  k i1 2  q k i1 2
Кожна з отриманих сум за формулою (3.104) визначає кі-
нетичну енергію системи T і остаточно матимемо
d  T  T
  Q k , k  1 ,2 , ..., s . (3.195)
t d  q  k q  k
Отримані рівняння є диференціальними рівняннями руху
голономних механічних систем в узагальнених координатах.
Вони називаються рівняннями Лагранжа другого роду.
Рівняння (3.195) — це система s звичайних диференціа-
льних рівнянь другого порядку відносно узагальнених коор-
динат q . Перед звичайними диференціальними рівняннями
k
руху матеріальних об’єктів, отриманих в попередніх розділах,
вони мають ту перевагу, що їх форма запису не залежить ні
від матеріального об’єкта, для якого вони складаються, ні від
вибору системи узагальнених координат. До того ж вони не
містять реакцій ідеальних в’язей. Останнє означає, що задача
знаходження руху системи не пов’язана з задачею визначення
невідомих реакцій в’язей.
Ефективність використання цих рівнянь для дослідження
руху матеріальних об’єктів ще полягає в тому, що вони дають
змогу розв’язування різноманітних задач динаміки проводити
за єдиною послідовністю виконання окремих етапів. При
розв’язуванні задач динаміки методом складання рівнянь Лаг-
ранжа другого роду дотримуються такої послідовності дій:

54