Page 85 - 70

Отримана залежність (3.47) відіграє значну роль при вимірюваннях,
так як обгрунтовує можливість значного підвищення точ--
ності результату вимірювання багатократним повторюванням спо-
стережень.
Дисперсія середнього арифметичного n спостережень в n разів є
меншою від дисперсії результатів однократних спостережень. Звід-
си СКВ середнього арифметичного буде таким:
   n . (3.48)
x
Із збільшенням n  наближається до нуля. Це означає, що серед-
x
нє арифметичне результатів спостережень сходиться по ймові-
рності до математичного сподівання і є його визначальною оцін-
кою.
З метою оцінки, чи є x ефективною оцінкою, розглянемо іншу не-
зміщену оцінку x, яка є такою лінійною функцією результатів спо-
стережень:
n
 x  a i  x .
i
 i 1
n
Причому a i 1. Покажемо, що серед всіх визначених таким чи-
 i 1
ном оцінок середнє арифметичне має найменшу дисперсію. Для
цього визначимо дисперсію оцінки x:

 n  n 2 n 2
D[  x ]  D   a i x  i   a 1  D[ x ]  D[ x]   a .
i
i
i 1   i 1  i 1
n 2
Але  a досягає мінімуму у випадку, коли всі а і однакові і дорів-
i
 i 1
нюють n1 . Тоді оцінка x стає середнім арифметичним x , тобто
n 1 1 n
 x    x i    x i  x
 i 1 n n  i 1
з дисперсією
2
n  1  D[ x]
D[ x]  D[ x]     ,
  n
i 1  n

122