Page 31 - 6832
P. 31
n
Для знаходження теоретичної кількості потраплянь т і розглянемо співвідношення m € i і
n
m €
запишемо його як n i .
n
Відношення / є частотою (частістю) потрапляння результатів у i-й елементарний інтервал.
Відомо, що при збільшенні загальної кількості спостережень п частота наближається до теоретичної
ймовірності p і потрапляння випадкової величини в і-й елементарний інтервал при передбачуваному
законі розподілу. Виходячи із цього, можна записати:
m €
lim m € nlim i
n i n
n
Пам'ятаючи про те, що границею, до якої прямуватиме при збільшенні п, є теоретичне
значення т і кількості потраплянь в інтервал, можна записати т і = пр і.
Таким чином, можна обчислити теоретичні значення т і, а потім знайти різницю —т і , що
характеризує розбіжність кількості потраплянь у кожний і-й інтервал.
Потрапляння результатів в і-й інтервал характеризується біноміальним законом розподілу, для
якого
2
npq np 1( p ) np np np
Для знаходження р і, необхідно користуватися співвідношенням
i x 1
p p (x )dx
i
i x
де х і й х і+1— кінці інтервалу, а р(х) наприклад, для нормального закону має вигляд:
(x Mx ) 2
1
p (x ) e 2 2
2
У випадку, коли Мх і σ невідомі, необхідно обчислити їхні оцінки х і s на підставі дослідних
даних і увести їх у вираз для закону розподілу. Так, для нормального закону оцінка щільності
ймовірності
(x ) x 2
1
( € p ) x e 2S 2
2 S
Оскільки на підставі тих самих експериментальних даних додатково обчислюють х і s то
втрачаються два ступені свободи, тобто f=l-1-2.
2
2
2
Отримане значення порівнюють із критичним , узятим з таблиці χ — розподілу для
кр
p
обраного рівня статистичної значущості α і кількості ступенів свободи f=l-3.
2
2
Якщо можна стверджувати, що з обраним рівнем статистичної значущості α
p кр
приймається гіпотеза Н 0, тобто наявні дані відповідають передбачуваному закону розподілу. Гіпотеза
2
2
Н 0 відхиляється при значеннях , більших за тому використовується тільки правобічна
кр
p
критична область (див. рис. 2.7, б).
Взагалі у практиці перевірки гіпотез про відповідність закону розподілу намагаються
застосовувати два методи перевірки, що підвищує вірогідність прийняття рішення. Особливо це
важливо, коли характерні риси закону розподілу перебувають на його «хвостах», що не завжди
можна виявити при малому обсязі випробувань.
2
2
Критерій ω (омега-квадрат). Критерій χ , незважаючи на свою простоту, не завжди забезпечує
надійну перевірку гіпотези про закон розподілу, оскільки частина вихідної інформації втрачається
при здійсненні процедури групування даних.
Розглянемо критерій згоди при простій гіпотезі, що повністю фіксує закон розподілу генеральної
2
2
сукупності, з якої отримано вибірку. Цей критерій, що дістав назву ω , на відміну від χ грунтується
безпосередньо на спостережених (незгрупованих) значеннях величини X.
Нехай гіпотеза полягає в припущенні, що величина X розподілена відповідно до деякого
неперервного закону розподілу з інтегральною функцією F(x), яка вважається відомою.
30