Page 36 - 6832

m
P {  W кр 2 }  
n
Приклад. Перевіряється внесок деякого компонента до складу продукції.
1. Перевірити відповідність вкладу складової 10%-ному стандартному значенню, тобто
перевірити гіпотезу H 0: р = 0,1.
2. Перевірити, що наявність цього компонента у продукції не перевищує 10%, тобто перевірити
гіпотезу Н 1: р > α.
Порівняння частки ознаки у двох сукупностях. Припустимо, що маємо m 1/n 1 та m 2/n 2 частки
однієї ознаки у двох сукупностях з n 1 та n 2 одиниць. Висувається гіпотеза H 0: розбіжність між m 1/n 1
та m 2/n 2 є результатом впливу випадкових факторів та обмеженого обсягу вибірок.
Розглянемо випадок великих вибірок. Якщо n 1 та n 2 більші за 30, то розподіл вибіркових
частостей при виконанні припущення про нульову розбіжність буде близьким до нормального з
параметрами
m m
M ( 1 )  M ( 2 )  p
n n
1 2

m 1 ( p  ) p m 1 ( p  ) p
 2 ( 1 )  ; 2 ( 2 ) 
n n n n
1 1 2 2
Для перевірки гіпотези застосовують статистику
m m
W  1  2
n n
1 2
Статистика W також може бути подана за допомогою нормального закону з параметрами
m m m m
M (W )  M ( 1  2 )  M ( 1 ) M ( 2 )  p  p  0
n n n n
1 2 1 2

m m m m 1 1
 2 (W )   2 ( 1  2 )   2 ( 1 )  2 ( 2 )  1 ( p  p )(  )
n n n n n n
1 2 1 2 1 2
Для перевірки гіпотези H 0 будемо використовувати двобічний критерій. Задаючись рівнем
значущості α, знаходимо z згідно з рівнянням
P {W  z  (W )} 1  

а потім визначимо критичні точки
1 1
W   z 1 ( € p  ) € p 
кр 1
n n
1 2

1 1
W  z 1 ( € p  ) € p 
кр 2
n n
1 2
де € p  (m  m ) /(n  n ) — оцінка p, яку отримують на підставі наявних даних двох вибірок.
1 2 1 2
Якщо вибіркове значення W вміститься в інтервалі [W кр1, W кр2], то гіпотеза про несуттєвість
розбіжності приймається.
Розглянемо випадок малих вибірок. Якщо n 1 та n 2 - малі числа, то використання нормального
m m
розподілу для статистики W  ( 1  2 )є хибним. У цьому випадку необхідно використовувати
n n
1 2
2
критерій χ за допомогою якого, як було показано раніше, при ідентифікації законів розподілу можна
визначити розбіжність між теоретичними і вибірковими частками.
2
Для розглянутого випадку χ обчислюється в такий спосіб. Припустимо, що нас цікавить деяка

ознака А. Беруть дві сукупності обсягами n 1 та n 2 і результати для позитивних А і негативних А
наслідків заносять у табл. 2.1.
У таблиці 1, і 2 — кількість елементів у кожній вибірці, які це мають ознаки А. Виходячи з
припущення, що вибірки взято з тієї самої генеральної сукупності з часткою ознаки р, можна
визначити теоретичні частоти, які відповідають фактичним частотам pn 1, (1-p)n 1, pn 2, (1-p)n 2.
Таблиця 2.1

35