Page 26 - 6831

Суть МНК полягає в пошуці таких параметрів лінії регресії, які забезпечують
мінімальну суму квадратів залишкових відхилень.
Умова мінімуму виражається такою системою рівнянь:
С
= ∑ 2( − − ) (− ) = 0,

(4)

= ∑ 2( − − ) (−1) = 0.

Після розкриття дужок і спрощення одержимо систему рівнянь у формі зручній для
визначення параметрів а і b:

∑ + ∑ = ∑ ,
(5)
∑ + = ∑ . .

Використовуючи поняття середніх арифметичних значень відповідних величин,
розв’язок системи рівнянь (5) можна подати у такому вигляді:
̄⋅ ̄
= ; (6)

̄
= ̄ − ̄, (7)
2

де ̄, ̄, , − вибіркові середні арифметичні значення величин X, Y, XYiХ .
При необмеженному зростанні об’єму вибірки n вибіркове середнє прямує до
математичного сподівання відповідної величини. Тому для генеральної сукупності:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = (8)

( ) [ ( )]
= ( ) − ( ), (9)

де М – математичне сподівання відповідної величини; х = М Х − [М(Х)] -
дисперсія величини Х.
Кутовий коефіцієнт рівняння лінійної регресії, обчислений за формулою (6) для
вибірки, або формулою (8) для генеральної сукупності, називається відповідно вибірковим
або генеральним коефіцієнтом регресії у по х і позначається .З урахуванням
у/х
співвідношень (7) і (9) рівняння регресії у по х (1) можна записати у вигляді:

− ̄ = / ( − ̄), (10)

або

− ( ) = / − ( ) . (11)

Тоді

= / , (12)

де – зміна середнього арифметичного значення результативної ознаки Y, що

відповідає зміні фактичної ознаки Х на величину х.
З рівняння (12):

у/х = . (13)
Тобто коефіцієнт регресії  у/х чисельно дорівнює зміні середнього значення

результативної ознаки при зміні факторної ознаки на одиницю (при х = 1).

За аналогією з вище поданим можна розглядати рівняння регресії х по у:

− ( ) = / − ( ) , (14)

де Х – умовне середнє арифметичне значення показника Х для заданого значення
у
показника Y = y;
 х/у – коефіцієнт регресії х по у:
( ) ( ) ( )
х/у = . (15)

25