Page 29 - 6831

Рис. 1.

Величина  у  у  у називається залишковим відхиленям.Серед даного виду
і
і
х
і

рівнянь = ( ; ; ; . . . ) за МНК вибирають рівняння з такими значеннями параметрів

а 0; а 1; …, які забезпечують мінімальну суму квадратів залишкових відхилень:

С = у − (х ; а ; а ; . . . ) = .
і і

За необхідною умовою мінімуму перші частинні похідні суми С за параметрами
шуканого рівняння дорівнюють нулю:
 C n   x ( a ; a ; ; ...)
  2  у  x (  a ; a ; ; ...)  i 0 i  , 0
a  i i 0 1 a 
0 i 1 0
 C n   x ( a ; a ; ; ...)
  2  у  x (  i a ; 0 a ; 1 ; ...)  i 0 1  , 0
i
a  a 
1 i 1 1

Розв’язавши дану систему рівнянь, отримаємо оптимальні значення точкових оцінок
параметрів рівняння регресії.
Розглянемо основні види криволінійних регресій.
1. Поліномна функція регресії. Оцінку поліномного рівняння регресії запишемо у
вигляді:

= + + +. . . +

Обмежимось випадком квадратичної (m = 2) регресії

= + + .

Точкові оцінки параметрів рівняння регресії а0; а1; а2 визначають мінімізуючи суму
квадратів залишкових відхилень:

С = у − а − а х − а х ,
і і і

тобто, розв’язуючи таку систему рівнянь:

а + + = ,

+ + = х у ,

і

і

а х + а х + а х = х у .

і
і
і
і
і

Точкові оцінки параметрів рівняння регресії як розв’язок даної системи рівнянь
можна записати у вигляді:

ух (х − х̄ ) − ух(х − х х̄) − ӯ(х − х х̄
а = ;

х (х − х̄ ) − х (х − х х̄) − х (х − х х̄)

ух − ӯ х̄ − а (х − х х̄)

а = ;
і
х − х̄

а = ӯ − а х̄ − а х .

Якість моделі оцінюють за величиною залишкової дисперсії, яка для квадратичної
регресії обчислюється за формулою:
28