Page 20 - 6831

математичне сподівання і генеральне середнє показника Х для заданого значення показника
Y=у.
Співвідношення (1) і (2) називають рівняннями регресії, а їх графічне представлення -
лініями регресії, відповідно, у по х і х по у.Якщо для всіх об’єктів однорідної сукупності
визначити чисельні значення показників Х і Y та нанести їх на координатну площину х0у,
то отримаємо множину точок, яку називають кореляційним полем. Лінія регресії проходить
через кореляційне поле і забезпечує мінімальну суму квадратів відхилень всіх точок від даної
лінії.

у

= ( )

0 х

Рис. 2. Кореляційне поле і лінія регресії = ( ).

За формулою лінії регресії кореляцію і регресію поділяють на лінійну (лінією регресії
є пряма) і нелінійну (лінією регресії є крива ).На практиці для дослідження кореляційного
зв’язку між величинами Х і Y здійснюють вибірку об’ємом n з генеральної сукупності.
Нехай для всіх об’єктів вибірки відомі числові значення показників Х і Y.

3
2
Об’єкти: 1 2 3 … n n
1
Показники: Х: х 1 х 2 х 3 … х n
Y: у 1 у 2 у 3 … у n
Вибіркові середні арифметичні значення показників:

̄ = ∑ ; ̄ = ∑ . (3)
і
і
і і
Вибіркові середні квадратичні відхилення:

= ∑ (х − х̄) ; = ∑ ( − ӯ) (4)

і
і
і і
Кількісною мірою лінійного кореляційного зв’язку є коефіцієнт кореляції:

= = = ∑ , (5)

і
і і

х і х̄ у і ӯ
де = ; = - нормовані відхилення х і і у і від вібіркових середніх х̄ і ̄.
і
х і у
З урахуванням даних співвідношень
∑ ( ̄) ( ̄)
= .

Підставляючи вирази (4) для  x і  у, отримаємо:
∑ ( ̄) ( ̄)

= . (6)

∑ ( ̄) ∑ ( ̄)

Використовуючи позначення відхилень:
= − ̄; = − ̄,

формулу (6) можна записати у спрощеному вигляді:
19