Page 52 - 6769

Коли при розв’язанні задачі одержують результат, говорять,
що метод Ньютона збіжний, в противному випадку розбіжний. Якщо
метод Ньютона – збіжний, він серед усіх методів має найвищу
швидкість збіжності. При необхідності похибку методу визначають за
наведеною нами в методі хорд методикою.

Таблиця 6.4 - Розрахунки за методом Ньютона
(k)
(k)
№ ітерації x Нев’язка x (k+1) dx =x (k+1) - x
(k)
К y
Немає попереднього
0 2 29 1,45283 значення x (k-1)
1 1,45283 7,563955 1,171112 -0,54717
2 1,171112 1,459033 1,084718 -0,28172
3 1,084718 0,112965 1,076824 -0,08639
4 1,076824 0,000887 1,076762 -0,00789
5 1,076762 5,61E-08 1,076762 -6,3E-05
6 1,076762 0 1,076762 -4E-09
7 1,076762 0 1,076762 0

Метод Лобачевського
В методі Лобачевського чудово поєднуються методи хорд та
Ньютона, що дозволяє постійно шукати наближення до кореня та
одночасно звужувати інтервал ізоляції кореня.
Нехай нам потрібно знайти невідоме значення x у рівнянні
(6.4) за допомогою методу Лобачевського.
Межі, в яких існує розв’язок даного рівняння, та нев’язки на
межах– це x1 = 0, y1 = -5, x2 = 2, y2 =29. Корінь рівняння (5.4) є в
інтервалі [0÷2]. За методом хорд розрахункову наступну точку
знаходимо з рівняння (6.5), яке для наочності перепишемо заново:
x (1 ) = x − y 1 ( x 1 ) ( x − x 1 ) /( y 2 ( x 2 ) − y 1 ( x 1 ) .
2
1
За методом Ньютона (формула (5.6), яку теж перепишемо):
x (k+1 ) = x ( ) k − f ( ) k .
f  ( ) k
За методом Ньютона першою точкою наближення вибираємо
одну з точок ізоляції кореня, нехай це буде - x = 2. Звернемо Вашу
увагу на те, що всі значення y з різними нижніми та верхніми

52