Page 50 - 6769

Вам, мабуть, зрозуміло, що коли б ми вже нарисували графік
функції (6.4), то точка, де він перетнув би вісь абсцис є розв’язанням
задачі. Насправді, ми не рисуємо графік функції, а за початкове
наближення вибираємо одну з точок інтервалу ізоляції кореня, яку
(0)
позначаємо x (0 не є ступінню числа, а вказує на номер ітерації,
значення нуль означає початкове значення для організації
ітераційного процесу для наближення до значень кореня) і проводимо
обчислення послідовних наближень до кореня рівняння за ітераційною
формулою Ньютона

x (k+1 ) = x ( ) k − f ( ) k , (6.6)
f  ( ) k
(0)
к – порядковий номер ітерації, к = 0, 1, 2, 3, … (x - початкове
(k)
(k)
(к)
наближення кореня), f - ліва частина рівняння (4.1) у точці x , f’ -
(k)
похідна f у точці x .
(к)
Розв’язати рівняння (6.4) методом Ньютона з нев’язкою
(k)
(k)
f (x ) 0,1 і оцініть похибку розв’язання рівняння.
З використанням рівняння (6.6) ми зробимо тільки два
ітераційні кроки, а всі обчислення зведені в таблиці 5.3.
(0)
(0)
Приймаємо х = 0, k = 0, нев’язка рівняння (4.4) y(x ) = - 5.
З врахуванням рівняння (6.4) запишемо ітераційну формулу
Ньютона 3 2
k
x ( + ) 1 = x ( ) k − 5x ( k ) − 2x ( k ) + x ( k ) − 5 . (6.7)
2
15x ( k ) − 4x ( k ) + 1
Перша ітерація.
Обчислюємо за (5.7) перше наближення до кореня рівняння
(1)
x ( ) 1 = 0 − − 5 = 5 , y(x ) = 575.
1
Друга ітерація.
Приймемо к = 1 і знайдемо за (6.7) друге наближення до
кореня
3
2
(2)
x ( ) 2 = 5 − 5 5 − 2 5 + 5 − 5 = 3. 384881 , y(x ) = 169,3722.
2
15  5 − 4 5 + 1
(2)
(2)
(0)
(0)
(1)
(1)
Знайдіть значення х , y , x , y , x , y в 1-3 рядках
таблиці 6.6 і порівняйте їх з обчисленими вище значеннями. Вони
ідентичні. Далі розрахунковий процес Ви можете простежити у 4-13
50