Page 38 - 6760

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 9

Тема: Неявна схема для рівняння теплопровідності.

Технічне забезпечення: ПЕОМ середовище програмування

Короткі теоретичні відомості
Нехай задано рівняння:

 u 2  2 u
 a ,
t  x  2
x   ;ba ,

u  ,0 x    ,x (9.1)

u   at ,  f 1  ,t

u  ,bt  f  .t
2
Чисельний алгоритм вказаної задачі будують наступним
чином:

u n 1  u n u n 1  2u n 1  u n 1
k k 2 k 1 k k 1
 a , (9.2)
 h 2

де  – крок по часу; h – крок по координаті x; t  i , i 0 , ..., N;
i
n
x  kh, k 0 , ..., K; u  u  xt , .
k k n k
0
Граничні та початкові умови записуються у вигляді: u    x ;
k
k
u 1  n  f  t 1  n ; u 1  n  f  t .
0 1 k 2 1  n
Вводячи позначення: u k n1  u , запишемо рівняння для
k
знаходження u :
i
u  f t   ,
 0 1 n 1
 2
 n a , (9.3)
  ru k 1    21 r u k  ru k 1  u k , r  2
 h
u  f t    ,
 k 2 n 1
n
де u – відома величина.
k
У випадку, коли розв’язок задачі з використанням неявної
схеми передбачає використання граничних умов, які лінійно
 u
зв’язують функції   txu , та  tx, , для розв’язування системи

k 

38