Page 36 - 6760

 2  4  0 ,   i 2 ,    i 2 . (8.2)
1 2
Загальний розв’язок однорідного рівняння записується у
вигляді:

y  C cos   Ct2  sin   t2 . (8.3)
0 1 2
Однорідним називають рівняння (8.1), в якого в правій

частині функція рівна нулю. Загальний розв’язок рівняння (8.1)
записується у вигляді:
y  y  y , (8.4)
з 0 н
де y визначається за (8.3), а y шукається у вигляді:
0
н
y  Atsin   Btt2  cos   t2 . (8.5)
н
Вигляд (8.5) визначається тим, що частота власних коливань

  2 співпадає з частотою зовнішніх коливань (збурююча сила
i
має частоту 2 – права частина рівняння sin  t2 ). Підставляючи
(8.5) в (8.1) знаходимо A та B за методом невизначених
коефіцієнтів:


y  Asin   t2  2 Atcos   Bt2  cos   t2  2 Btsin   t2 ,
н
 
y  2 Acos   t2  2 Acos( 2 t) 4 Atsin   t2  2 Bsin   t2  2 Bsin   t2  4 Btcos   t2 .
н
Одержуємо:
4 A cos   t2  4 At sin   t2  4 B sin   t2 
.
 4 Bt cos t 2  4 At sin t 2  4 Bt cos t 2  sin t 2
Зводячи подібні, одержуємо:
4 Acos 2 t 4 Bsin t 2  sin t 2 .
За методом невизначених коефіцієнтів запишемо:

 4A  0 A  ,0

1
  4B  1 B   .
 4

Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд:
1
y  C cos t 2  C sin t 2  t cos t 2 .
1 2
4
Константи C і C знаходяться з початкових умов:
1 2
y  0  0  C 1  0 ,
1 5
 y   10   2C   1  C  .
2 2
4 8
Остаточно:

5 1
y  sin t 2  t cos t 2 (8.6)
8 4

36