Page 15 - 6718

Числові методи дозволяють розв’язок диференціальних рівнянь замінити
еквівалентними системами алгебраїчних рівнянь, кількість яких визначається

числом вузлів прийнятої розрахункової схеми.
1.2.1 Метод скінченних різниць

Метод скінченних різниць (МСР) – один з перших числових методів роз-
роблених для розв’язку диференціальних рівнянь у часткових похідних. Ідея

методу полягає в тому, що часткові похідні в диференціальних рівняннях замі-

нюють відношеннями різниць змінних (скінченними різницями), внаслідок чого

отримують різницеві рівняння. Досліджуваний об’єкт поділяють на дискретні

інтервали, тобто фіксується певна система вузлових точок, які відповідають

границям даних інтервалів (місцям контакту суміжних ділянок).

У випадку одномірної задачі, тобто, коли вивчається функція u  f (x )

досліджувану область аргументу поділяють на скінченну кількість ділянок х

(рисунок 1.4). Якщо кількість ділянок становить n, то кількість вузлів n+1. Для

розв’язку двовимірних задач u  f (x , ) у в межах досліджуваної області будує-

мо сітку з розмірами по відповідних координатах х  , , y а точки перетину ліній

сітки вважають вузлами.

У випадку багатовимірної задачі використовують просторову (багатови-

мірну) сітку.

Для кожного і – го вузла диференціальне рівняння перетворюють у скін-

ченно – різницевий аналог, тобто диференціальні оператори замінюють різни-

цями, що охоплюють, зазвичай два інтервали – праворуч та ліворуч вузла: на-

приклад, по осі x це будуть інтервали х  х та х  х.

Рисунок 1.4 – Схема побудови скінченно – різницевих співвідношень