Page 20 - 66

18

a  b
sin
A  B 2 C
sin  cos . (2.23)
2 c 2
sin
2
Третя і четверта формули Гаусса-Деламбра виводяться із формул:
A  B A B A B
cos  cos cos  sin sin .
2 2 2 2 2
Виконавши такі ж перетворення, як і при виведенні перших двох формул,
одержимо
a  b
cos
A B 2 C
cos  sin ,
2 c 2
cos
2
(2.24)
a  b
sin
A B 2 C
cos  sin .
2 c 2
sin
2
Неважко бачити, що всього для сферичного трикутника ABC можна
виписати дванадцять таких формул. Аналізуючи формули (2.22)-(2.24), можна
підмітити мнемонічний закон складання таких формул. Якщо в лівій частині
синус, то в правій повинен бути мінус, тобто піврізниця сторін; якщо ж в лівій
частині косинус, то в правій буде плюс, тобто півсума сторін. І навпаки, якщо в
лівій частині плюс, тобто півсума кутів, то в правій буде косинус; якщо в лівій
частині мінус, тобто піврізниця кутів, то в правій буде стояти синус. Крім того,
функція, під якою стоїть в правій частині половина третього кута, не однакова з
тією функцією, яка береться для півсуми чи піврізниці кутів у лівій частині.
Користуючись формулами Гаусса-Деламбра, неважко одержати умови
однорідності сферичного трикутника Ейлера (див. п.1.3).

2.8 АНАЛОГІЇ НЕПЕРА

Аналогії Непера виражають залежність між п’ятьма елементами
сферичного трикутника: трьома кутами і двома сторонами або двома кутами і
трьома сторонами. Вони виводяться із формул Гаусса-Деламбра.
Поділивши почленно (2.22) на першу з формул (2.24), одержуємо

a b
cos
A B 2 C
tg  ctg . (2.25)
2 a b 2
cos
2
Аналогічно з (2.23) і другої формули (2.24) маємо:
a b
sin
A B 2 C
tg  ctg . (2.26)
2 a b 2
sin
2
Записавши формули (2.22) і (2.23) у виді