Page 15 - 66

13

2
2
2
cos a  2 cosa cosb cosc  cos b cos c
2
sin A  1 .
2
2
sin b sin c
Тобто
2
2
2
2
2
sin b sin c  cos a  2 cosa cosb cosc  cos b cos c
2
sin A  
2
2
sin b sin c
2
2
2
2
1 (  cos b )( 1 cos 2 ) c  cos a  2 cosa cosb cosc  cos b cos c
 
2
2
sin b sin c
2
2
2
2
2
2
2
1 cos c  cos b  cos b cos c  cos a  2 cosa cosb cosc  cos b cos c
 .
2
2
sin b sin c
Таким чином
2
2
2
1 cos a  cos b  cos c  2 cosa cosb cosc
2
sin A  .
2
2
sin b sin c
Поділивши обидві частини цієї рівності на sin 2 a, знаходимо
2
2
2
sin A 1 cos a 2  cos b  cos c  2cos cos cosa b c
 ,
2
2
sin a sin sin sina 2 b 2 c
або
2
2
2
sin A 1 cos a  cos b  cos c  2 cosa cosb cosc
 . (2.8)
sin a sin a sin b sin c
Перед коренем взято знак “+”, оскільки кути і сторони сферичного

трикутника менші 180 , а тому їх синуси додатні.
Права частина виразу (2.8) симетрична відносно a, b, c , отже, вона не
змінить свого значення від перестановки сторін, тому
sin A sin B sin C
   M , (2.9)
sin a sin b sin c
де
2
2
2
1 cos a  cos b  cos c  2 cosa cosb cosc
M  ,
sin a sin b sin c
називається модулем сферичного трикутника.
Неважко бачити, що (2.9) еквівалентно (2.7).

2.4 ФОРМУЛИ П’ЯТИ ЕЛЕМЕНТІВ
Ці формули дають залежність між п’ятьма елементами сферичного
трикутника. Запишемо формули косинусів для сторін a і b сферичного
трикутника ABC :
cosa  cosb cosc  sin b sin c cos , A
cosb  cosa cosc  sin a sin c cos . B
Першу з цих рівностей домножимо на cos :
c
cos a cos c  cos b cos 2 c  sin b sin c cos c cos A
і підставимо одержаний вираз для cos acos c в другу рівність:
2
cosb  cosb cos c  sin b sin c cosc cos A sin a sin c cos , B
або
cos b 1(  cos 2 c)  sin bsin ccos ccos A sin asin ccos B,
2
cosb sin c  sin b sin c cosc cos A sin a sin c cos . B