Page 18 - 66

16

cosa  cosb cosc
cos A  .
sin b sin c
Віднімемо від одиниці обидві частини цієї рівності:
cosa  cosb cosc
1 cos A  1 .
sin b sin c
Звідси
A sin b sin c  cosb cosc  cosa
2 sin 2  .
2 sin b sin c
Але, оскільки
sin b sin c  cosb cosc  cos(b  c ),
то
A cos(b  ) c  cosa
2 sin 2  .
2 sin b sin c
Різницю косинусів у чисельнику замінимо добутком:
a  b  c a  b  c
2 sin sin
A 2 2
2 sin 2  .
2 sin b sin c
Позначимо через p2 периметр сферичного трикутника, тобто a  b  c  2 p.
Тоді неважко бачити, що
a  b  c a  b  c
 p  , c  p  . b
2 2
Підставивши ці вирази в попередню формулу, одержимо
A sin( p  ) c sin( p  ) b
sin  . (2.18)
2 sin b sin c
Аналогічні формули одержуємо для двох інших кутів:

B sin( p  ) a sin( p  ) c
sin  , (2.19)
2 sin a sin c
C sin( p  ) a sin( p  ) b
sin  . .
2 sin a sin b
Виконавши перетворення, аналогічні попереднім, можна одержати
формули для косинуса половинного кута:
cosa  cosb cosc
1 cos A  1 ,
sin b sin c
звідки
A sin b sin c  cosb cosc  cosa
2 cos 2  ,
2 sin b sin c
або
A cosa  cos(b  ) c
2 cos 2  ,
2 sin b sin c
і, нарешті,
a  b  c b  c  a
2 sin sin
A 2 2
2 cos 2  .
2 sin b sin c
Остаточно: