Page 19 - 66

17

A sin p sin( p  ) a
cos  . (2.20)
2 sin b sin c
Аналогічні формули легко одержати для двох інших кутів:
B sin p sin( p  ) b
cos  ,
2 sin a sin c
(2.21)
C sin p sin( p  ) c
cos  .
2 sin a sin b

2.7 ФОРМУЛИ ГАУССА-ДЕЛАМБРА

Ці формули виражають залежність між всіма шістьма елементами
сферичного трикутника.
Як відомо,
A B  A B  A B A B
sin  sin    sin cos  cos sin .
2  2 2  2 2 2 2
Звідси, використавши формули, виведені в п.2.6, одержуємо

A B sin( p b )sin(p c ) sin sin(p p  ) b sin sin(p p  ) a sin(p a )sin(p c )
sin     .
2 sin sinb c sin sina c sin sinb c sin sina c
Або
A B sin(p b ) sin( p c )sin p sin(p a ) sin( p c )sin p
sin   .
2 sin c sin sina b sinc sin sina b
Але, в силу другої з формул (2.21),
sin p sin( p  ) c C
 cos ,
sin a sin b 2
отже,
A  B sin( p  ) b C sin( p  ) a C
sin  cos  cos .
2 sin c 2 sin c 2
Звідси
A  B sin( p  ) b  sin( p  ) a C
sin  cos ,
2 sin c 2
що можна записати так:
2p  a  b a  b
2 sin cos
A B 2 2 C
sin  cos .
2 c 2 c 2
2 sin cos
2 2
Зауваживши, що
2p  a  b c
 ,
2 2
одержуємо першу формулу Гаусса-Деламбра:
a  b
cos
A B 2 C
sin  cos . (2.22)
2 c 2
cos
2
Аналогічно одержується друга формула Гаусса-Деламбра: