Page 17 - 66

15

2.5 ФОРМУЛА ЧОТИРЬОХ ЕЛЕМЕНТІВ
В цю формулу входять чотири елементи сферичного трикутника, які
розташовані підряд - дві сторони і два кути, наприклад, сторона ,a кут C
,
сторона ,b кут A (рис. 2.2). При цьому сторона і кут, якими починається і
закінчується цей ряд, наприклад, сторона a і кут A , називаються крайніми, а
сторона і кут, розташовані між ними, наприклад, сторона b i кут C -
,
внутрішніми елементами.
A Тоді формула чотирьох елементів буде читатись
так: добуток котангенса крайньої сторони на синус
внутрішньої дорівнює добутку косинусів внутрішніх
елементів плюс добуток синуса внутрішнього кута на
c b котангенс крайнього.
Стосовно чотирьох елементів a, C, b, A , це можна

записати так:
B C ctga sin b  cosb cosC  sin C ctgA . (2.14)
a
Для доведення цієї формули запишемо формулу п’яти
Рисунок 2.1 елементів (2.11) для сторони c і прилеглого кута A :
sin c cos A  cos a sin b  sin a cos b cos C . (2.15)
Крім того, із формули синусів (2.7) випливає:
sinc sin A  sina sin . C (2.16)
Поділимо почленно (2.15) на (2.16):
sin c cos A cosa sin b sin a cosb cosC
  ,
sin c sin A sin a sin C sin a sin C
або
ctga sin b cosb cosC
ctgA   .
sin C sin C
Домноживши на sin , одержуємо
C
sin C ctgA  ctga sin b  cosb cosC ,
або, остаточно
ctga sin b  cosb cosC  sin C ctgA ,
що і треба було довести.
Застосовуючи виведену формулу до всіх можливих в трикутнику
випадків, одержуємо ще п’ять формул:
ctga sin c  cosc cosB  sin B ctgA ,
ctgb sin c  cosc cos A sin A ctgB ,
ctgb sin a  cosa cosC  sin C ctgB , (2.17)
ctgc sin a  cosa cosB  sin B ctgC ,

ctgc sin b  cosb cos A sin A ctgC .

2.6 ФОРМУЛИ ПОЛОВИННИХ КУТІВ

Із формули (2.3) виразимо cos :
A