Page 16 - 66

14

Скоротивши на sin , одержимо
c
cosb sin c  sin b cosc cos A sin a cos , B
або, остаточно
sin a cosB  cosb sin c  sin b cosc cos . A (2.10)
Співвідношення (2.10) називається формулою п’яти елементів (в
нього входить три сторони і два кути сферичного трикутника). Ця
формула читається так: добуток синуса сторони на косинус прилеглого до
неї кута дорівнює добутку косинуса протилежної цьому куту сторони на
синус третьої сторони без добутку синуса протилежної сторони на
косинус третьої сторони і на косинус кута між ними.
Користуючись цим правилом, легко виписати ще п’ять формул для
сферичного трикутника ABC :
sin a cosC  cosc sin b  sin c cosb cos , A
sin b cosC  cosc sin a  sin c cosa cos , B
sin b cos A  cosa sin c  sin a cosc cos , B (2.11)
sin c cos A  cosa sin b  sin a cosb cosC ,

sin c cosB  cosb sin a  sin b cosa cosC .
Запишемо виведену вище формулу для трикутника A B C , полярного
1 1 1
трикутнику ABC :
sin a cosB  cosb sin c  sin b cosc cos A .
1 1 1 1 1 1 1
Але, згідно з формулами (1.5)-(1.8), можна записати:
a 180   A, b 180   B, c 180   C , A 180   a , B 180   b.
1 1 1 1 1
Тоді остання рівність запишеться так:




sin( 180  ) A cos( 180  ) b  cos( 180  ) B sin( 180  C ) 




 sin( 180  ) B cos( 180  C ) cos( 180  a ),
або
 sin A cosb   cosB sin C  sin B cosC cos , a
і остаточно
sin A cosb  cosB sin C  sin B cosC cos . a (2.12)
Це є ще одна формула п’яти елементів (вона зв’язує три кути і дві
сторони сферичного трикутника), словами її можна сформулювати так:
добуток синуса кута на косинус прилеглої сторони дорівнює добутку
косинуса кута, протилежного цій стороні, на синус третього кута плюс
добуток синуса протилежного кута на косинус третього кута і на косинус
сторони між ними.
Застосовуючи це правило, можна виписати ще п’ять формул для
сферичного трикутника ABC :
sin cosA c  cos sinC B  sin cos cos ,C B a
sin cosB c  cos sinC A sin cos cos ,C A b
sin cosB a  cos sinA C  sin cos cos ,A C b (2.13)

sin cosC a  cos sinA B  sin cos cos ,A B c
sin cosC b  cos sinB A  sin cos cos .B A c