Page 14 - 66

12

Одержані формули читаються так: косинус сторони сферичного
трикутника дорівнює добутку косинусів двох інших його сторін плюс
добуток синусів цих же сторін, помножений на косинус кута між ними.

2.2 ФОРМУЛА КОСИНУСА КУТА СФЕРИЧНОГО ТРИКУТНИКА
Виведемо тепер формулу косинуса кута сферичного трикутника. Нехай є

два взаємно полярні сферичні трикутники із сторонами і кутами a, b, c, A, B, C і
a ,b ,c , A ,B ,C . Запишемо формулу косинуса сторони a трикутника A B C :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
cosa  cosb cosc  sin b sin c cos A .
1 1 1 1 1 1
Але в силу формул (1.5)-(1.8) маємо:
a 180   A, b 180   B, c 180   C , A 180   a .
1 1 1 1
Користуючись цими співвідношеннями, останню формулу можна
записати у виді






cos( 180  ) A  cos( 180  ) B  cos( 180  C )  sin( 180  ) B  sin( 180  C ) cos( 180  ) a .
Враховуючи формули зведення, маємо:
 cos A  cosB cosC  sin B sin C cos , a
або, остаточно
cos A   cosB cosC  sin B sin C cos . a (2.5)
Це і є формула косинуса кута сферичного трикутника. Аналогічні
формули легко одержати для кутів B і C :
cosB   cos A cosC  sin A sin C cosb ,
(2.6)
cosC   cosB cos A  sin B sin A cosc .
Ці формули читаються так: косинус кута сферичного трикутника
дорівнює добутку косинусів двох інших кутів, взятому з протилежним
знаком, плюс добуток синусів цих же кутів, помножений на косинус
сторони між ними.

2.3 ФОРМУЛА СИНУСІВ ДЛЯ СФЕРИЧНОГО ТРИКУТНИКА

Формула синусів для сферичного трикутника читається так: в
сферичному трикутнику синуси його сторін пропорціональні синусам
протилежних їм кутів.
Стосовно трикутника ABC це можна записати так:
sin a sin b sin c
  . (2.7)
sin A sin B sin C
Є різні доведення цієї формули. Ми розглянемо одне з них, яке
ґрунтується на формулі косинуса сторони сферичного трикутника. Для
цього формулу (2.3) запишемо у виді
cosa  cosb cosc
cos A  .
sin b sin c
Звідси
(cosa  cosb cosc ) 2
2
2
sin A  1 cos A  1 ,
2
2
sin b sin c
або