Page 13 - 66

11

2 ОСНОВНІ ФОРМУЛИ СФЕРИЧНОЇ ТРИГОНОМЕТРІЇ

2.1 ФОРМУЛА КОСИНУСА СТОРОНИ СФЕРИЧНОГО ТРИКУТНИКА

Формула косинуса сторони трикутника є основною формулою сферичної
тригонометрії, оскільки з неї можуть бути виведені всі наступні формули. Вона
встановлює залежність між трьома сторонами і одним з кутів сферичного
трикутника. Розглянемо одне із доведень цієї
A
формули, яке спирається на методи векторної
алгебри.
c
Нехай маємо сферичний трикутник ABC ,
b розташований на сфері радіуса R (рис. 2.1). Із центра
сфери O проведемо до вершин A, B i C трикутника
a
l1 B
C радіус-вектори ,ll ,l відповідно. Очевидно, довжина
1 3 2
90 0 l2 l3 кожного з них є R . В площинах OAC i OAB
побудуємо вектори r  OD і r  OE відповідно,
1 2

90 0
довжини R кожний, які складають з вектором l  OA
1
O E прямий кут. Тоді, очевидно, сф. A  DOE .
A r2   
Розкладемо вектор l  OC по векторах l 1 i r , а вектор
2
1
  
r1 D l  OB по векторах l i r . Як відомо,
3 1 2
  
Рисунок 2.1 l  l 1 cosb  r 1 sin , b
2
  
l  l cosc  r sin . c
3 1 2
 
Розглянемо скалярний добуток векторів l i l . З одного боку
    2 3
2
l  l  | l || l cos| a  R  Rcos a  R cos a . (2.1)
2 3 2 3
З іншого
     
l  l  (l cosb  r sin b )(l cosc  r sin ) c 
2 3 1 1 1 2
      
 l 2 cosb cosc  r l cosb sin c  r l cosc sin b  r r sin b sin . c
1 1 2 1 1 1 2
Врахуємо, що
         
l 2 |  | l 2  R 2 , l  r  , 0 l  r  , 0 r  r  | r || | r cos A  R 2 cos . A
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
Тоді
 
l  l  R 2 cosb cosc  R 2 cos A sin b sin . c (2.2)
2 3
Із (2.1) і (2.2) випливає
R 2 cosa  R 2 cosb cosc  R 2 cos A sin b sin , c
або
cosa  cosb cosc  sin b sin c cos , A (2.3)
Це і є формула косинуса сторони сферичного трикутника. Аналогічні
формули можна записати також для сторін b i c :

cosb  cosa cosc  sin c sin a cos , B .
cosc  cosa cosb  sin a sin b cosC . (2.4)