Page 11 - 66

9

значить, А 1 – полюс дуги ВС (див. п.1.2.). Аналогічно доводиться, що точка В 1 є
полюс дуги АС, а точка С 1 – полюс дуги АВ. Теорема доведена.
На основі цієї теореми можна зробити висновок, що полярність
трикутників - властивість взаємна. Можна говорити про пари взаємно полярних
трикутників.
Теорема 1.2. Сума кута даного сферичного трикутника і відповідної йому
o
сторони полярного трикутника дорівнює 180 .
Рисунок 1.6
Доведення. Продовжимо сторони АВ і АС даного трикутника
АВС до перетину із стороною В 1С 1 полярного трикутника відповідно у точках E і D
(рис.1.7.). B1 Оскільки А - полюс дуги В 1С 1, то


 AE  90 і G E  AD  90 , а, значить, A   ED
(див. п. B 1.2.). Далі, оскільки В 1 - полюс дуги
c1
a1

АС, то  B D  90 ; С 1 - полюс дуги АВ, то
c a 1

 C E  90 . Тоді
1 D
b o o o
A C A+a 1=ED+B 1E+ED+DC 1=B 1D+C 1E=90 +90 =180 .
Тобто
A1 C1
F
b 1
Рисунок 1.7
А+а 1=180 . (1.5)
o
Аналогічно одержуємо ще дві рівності:
B+b 1=180 , C+c 1=180 . (1.6)
o
o
Тепер продовжимо сторону ВС в обидва боки до перетину із сторонами А 1В 1 і А 1С 1


в точках G і F відповідно. Оскільки А 1 - полюс дуги ВС, то  A G  90 ,  A F  90 .
1 1
Звідси випливає, що (див. п. 1.2.) A   GF . Далі, оскільки В – полюс дуги А 1С 1,
1


то  BF  90 ; С - полюс дуги А 1В 1, то CG  90 . Тоді
А 1+a=GF+BC=GB+BC=CF+BC=CG+BF=90 +90 =180 .
о
о
о
Тобто
А 1+а=180 . (1.7)
o
Аналогічно одержуємо
o
o
В 1+b=180 , C 1+c=180 (1.8)
Теорема доведена.
Дослідження показують, що, якщо всі сторони даного трикутника менші
90 , то він буде розташовуватись всередині полярного трикутника; якщо всі
o
сторони даного трикутника більші 90 , то полярний трикутник буде
o
розташовуватись всередині даного; якщо трикутник має сторони як менші, так і
більші 90 , то полярний трикутник буде перетинати сторони даного трикутника.
o
Властивості взаємно полярних трикутників мають важливе значення у
сферичній тригонометрії, полегшуючи виведення багатьох формул.
Зокрема, для полярного трикутника А 1В 1С 1 виконана умова
a 1+b 1>c 1.
Звідси, переходячи до даного трикутника АВС, маємо
o
180 – A + 180 – B > 180 – C,
o
o
або
A + B – C < 180 . (1.9)
o
Аналогічно одержуємо ще дві нерівності
B + C – A < 180 , A + C – B < 180 . (1.10)
o
o