Page 10 - 66

8

Сферичний трикутник можна також розглядати як фігуру, утворену при
перетині сфери з трьохгранним кутом ОАВС, вершина якого знаходиться у
центрі сфери. Із сказаного вище випливає, що сторони сферичного трикутника
вимірюються плоскими кутами при вершині трьохгранного кута, а кути -
двогранними кутами трьохгранного кута.
Щоб сукупність дуг і кутів на сфері могла утворювати сферичний
трикутник, необхідно, щоб були виконані деякі співвідношення, які складають
умови існування сферичного трикутника. Властивості елементів сферичного
трикутника випливають із властивостей елементів трьохгранного кута, відомих
із стереометрії:
1. Кожна сторона сферичного трикутника менша суми і більша різниці
двох інших сторін, тобто
a + b > c, a + c > b, b + c > a; (1.1)
a > b – c, b > a – c, c > b – a. (1.2)
o
2. Сума сторін сферичного трикутника більша 0 і менша 360 , тобто
o
o
o
0 < a + b + c < 360 . (1.3)
3. Сума кутів сферичного трикутника більша 180 і менша 540 , тобто
o
o
o o
180 < А + В + С < 540 . (1.4)
Величина  =А+В+С-180 називається ексцесом або сферичним надлишком
o
сферичного трикутника.
Відмітимо ще кілька властивостей сферичного трикутника, деякі з яких
аналогічні властивостям плоского трикутника. А саме, в сферичному
трикутнику:
4. Проти рівних сторін лежать рівні кути.
5. Проти рівних кутів лежать рівні сторони.
6. Проти більшої сторони лежить більший кут.
7. Проти більшого кута лежить більша сторона.
Крім вищевказаних, трикутники Ейлера задовольняють ще так званим
умовам однорідності:
8. Якщо сума двох сторін сферичного трикутника більша, рівна або
менша 180 , то і сума протилежних їм кутів більша, рівна або менша 180 і,
o
o
навпаки -
9. Якщо сума двох кутів сферичного трикутника більша, рівна або менша
o
180 , то і сума протилежних їм сторін більша, рівна або менша 180 .
o

1.4 ПОЛЯРНІ СФЕРИЧНІ ТРИКУТНИКИ

Сферичний трикутник А 1В 1С 1 називається полярним до сферичного
трикутника АBС, якщо вершини трикутника АВС є полюсами сторін трикутника
А 1В 1С 1.
Теорема 1.1. Якщо сферичний трикутник А 1В 1С 1 полярний до сферичного
трикутника АВС, то сферичний трикутник АВС також буде полярним до
сферичного трикутника А 1В 1С 1.
Доведення. З’єднаємо дугами вершину А 1 із вершинами В і С (рис.1.6.).

Оскільки С - полюс дуги А 1В 1, то  A C  90 . Аналогічно: В - полюс дуги А 1С 1,
1

отже,  A B  90 . Таким чином, точка А 1 віддалена на 90 від точок В і С, а,
o
1