Page 41 - 6383

 1  1 
x 2 xy 2 xz
Т  1   1  .
Д 2 yx y 2 yz
1  1  
2 zx 2 zy z
Введення коефіцієнта 1/2 перед величинами деформацій зрушення
необхідне з формальної точки зору для того, щоб перетворення від системи
координат х, у, z до системи координат х', у', z’ відбувалися за тими формулами,
які відповідають визначенню поняття тензора. Тензор деформацій Т Д, так само
як і тензор напружень Т Н, є симетричним тензором.
Перейдемо до визначення основними деформацій і відповідних їм головних
осей деформацій. Основними осями деформації називаються такі три взаємно
ортогональні прямі, що проходять через точку тіла, які збігаються за
напрямком з лінійними елементами, що випробовують при деформації тільки
зміни довжин. Деформації цих елементів називають основними деформаціями в
точці тіла. Зрушення по основних осях деформації рівні нулю.
Отримаємо рівняння для визначення головних деформацій,
використовуючи аналогію між співвідношеннями для напружень і для
деформацій.
Оскільки початкові рівняння для визначення нормального напруження по
довільній площині (16.7) і лінійній деформації в довільному напрямі (16.30)
мають однакову структуру, то і остаточні вирази для основних напружень σ і
основних деформацій λ повинні мати однаковий вигляд (з урахуванням

заміни τ xy на ½γ xy і т. д.).
Так, замість системи рівнянь (1.9) матимемо
 2     l  m   n  , 0
x xy xz
 xy l   2  y    m  yz n  , 0 (16.31)
 l   m   2     n . 0
xz yz z
Умовою нетривіальності рішення системи однорідних рівнянь (1.31) є
рівність нулю визначника, складеного з коефіцієнтів при l, m, п, тобто
 2      
x xy xz
  2       . 0 (16.32)
xy y yz
   2    
xz yz z
Розкриваючи визначник, отримаємо кубічне рівняння відносно λ,
аналогічне рівнянню (1.11):
 2  I  2  I   I  , 0 (16.33)
1 2 3
де
I             ,
1 x y z 1 2 3
I           1  2   2   2          ,
2 x y y z z x 4 xy yz zx 1 2 2 3 3 1
I      1     1   2    2    2     .
3 x y z 4 xy yz zx 4 x yz y zx z xy 1 2 3
Всі корені λ 1, λ 2, λ 3 рівняння (16.33) є дійсними і рівні основним
деформаціям. |

41