Page 46 - 6383

який є розв'язком (16.45). Для цього розпишем третє з рівнянь ( 16.45) з
урахуванням (16.43) і (16.44) в вигляді :
2
3
2
3
3
2
6Axy + 2By + 6Exy + 6Gxy + 6Fx + 2Hy + 2Iy + 2K + 6Ax y+ 6Bx y + 6Exy +
3
2
6Dy + 2Ex + 2Hx + 2Lx + 2D = 0;
Звідки одержимо:
A = 0 ; B = 0 ; H = 0 ; E = 0 ; G = - C ; L = -3F;
I = -3D; P = - K. (16.46)
Після цього залежність (16.42) можна записати в вигляді:
3
3
2
3
2
3
* = C (xy - x y) + D(y - 3x y) + F(x - 3xy ) +
2 2
+ K(x - y ) + Mxy + Nx + Oy + R. (16.47)
У нашому випадку ми можемо скласти n рівнянь виду (16.47), де n –
кількість вузлів сітки. Тому є можливість знаходження 8 коефіцієнтів, що
входять до рівняння (16.47) способом найменших квадратів. Ще раз відзначимо,
що знайдені за допомогою цих коефіцієнтів значення тензорів деформацій і
напружень за формулами (16.39) і (16. 40) автоматично задовольняють умови
рівноваги (16.41) .
Знайдемо мінімум функції від 8 наведених вище змінних з виразу:
Ny
2
Nx
S(C;D;F;K;M;N;O;R) =  i=1  j=1 ( z ij - * ) . (16.48)
Використовуючи умови екстремуму для функції багатьох змінних
,одержимо наступні рівняння :
S/C = 0 ,
або в координатному вигляді :
3
3
2
Ny
3
Nx
 i=1  j=1 (z ij - C(x iy j - x i y j) - D(y j -3x i y j) -
2
2
3
2
-F(x i - 3x iy j ) - K(x i - y j ) - Mx iy j - Nx i - Oy j - R) *
3
3
*(x iy j - x i y j) = 0. (16.49)
Звідки:
Nx
Ny
3
2
Nx
Ny
3
3
Nx
3
Ny
С( i=1  j=1 (x iy j - x i y j)a*) + D( i=1  j=1 (y j -3x i y j)a*) + F( i=1  j=1 (x i -
2 Nx Ny 2 2 Nx Ny Nx Ny
3x iy j )a*) + K( i=1  j=1 (x i - y j )a*) + M( i=1  j=1 (x iy ja*)+ N( i=1  j=1
Ny
Nx
Ny
Nx
Nx
Ny
x ia* + O( i=1  j=1 y ja*+ R( i=1  j=1 a* =  i=1  j=1 z ija*, (16.50)
де
3
3
a* = (x iy j - x i y j).
При виведені рівняння з умови S/D = 0 загальний вигляд буде таким
3
2
самим, як і (16.50), тільки a* = (y j - 3x i y j).
3
2
Для S/F = 0 a* = x i - 3x iy j
2
2
Для S/K = 0 a* = x i - y j
Для S/M = 0 a* = x iy j
Для S/N = 0 a* = x i
Для S/O = 0 a* = y i
Для S/R = 0 a* = 1
При невідомій R коефіцієнт дорівнює Nx*Ny,де Nx і Ny – кількість
вузлів сітки відповідно по осях X і Y.
Отже, в результаті розрахунків ми одержимо 8 лінійних алгебраїчних
рівнянь відносно 8-ми змінних C, D, F, K, M, N, O, R. Система розв’язується
методом Гауса з вибором основних елементу по рядках. Підставляючи знайдені
46