Page 42 - 6383

Для визначення направляючих косинусів основних осей деформації
необхідно знайдені корені λ 1, λ 2, λ 3 по черзі підставити в рівняння (16.31) і, крім
того, використати умову (16.25).

16.2.10. Умови спільності деформацій Сен-Венана

Шість компонент деформацій ε x, ε y, ε z, γ xy, γ xz, γ yz, що визначаються
рівняннями Коші (16.24), залежать від трьох компонент переміщення u, υ, ω.
Якщо задані функції переміщень u, υ, ω, то всі шість складових
деформації однозначно визначаються рівняннями (16.24). Проте, якщо ми
довільно задамо шість функцій деформацій, то визначення функцій переміщень
буде неточним.
Насправді, допустимо, що задано шість довільних функцій ε x(х, у, z), ε y(х, у,
z) ..., γ yz{x, у, z). Інтегруючи перші три рівняння, ми отримаємо вирази для
функцій u, υ, ω. Проте, якщо знайдені функції підставити в останні три
рівняння Коші, то ми отримаємо функції, що загалом не збігаються із
заданими γ xy, γ xz, γ yz. Отже, задавати довільні шість функцій деформацій не
можна. Необхідно при заданні функцій для компонент деформацій
задовольняти також додатковим зв'язкам між цими деформаціями.
Сен-Венан отримав шість таких додаткових зв'язків між деформаціями. Ці
шість рівнянь можна розбити на дві групи. До першої групи входять рівняння,
що встановлюють зв'язки між деформаціями ε і γ, що належать до однієї
площини, а до другої — зв'язки між деформаціями в різних площинах.
Якщо про диференціювати ε x двічі по у, ε y — двічі по х, а γ xy — по х і у, то
отримаємо
2
2
2
3
3
   3 u        3 u  
x  , y  , xy   .
y  2  x y 2 x  2  y x 2  x y  x y 2  y x 2
Звідси отримаємо першу залежність між деформаціями:
2
2
2
     
x  y  xy .
y  2 x  2  x y
Аналогічно можна отримати дві інші залежності I групи зв'язків:
2
2
2
2
2
2
           
x  z  xz , y  z  yz .
z  2 x  2  x z z  2 y  2  y z
Для отримання залежностей II групи складемо похідні
2
2
   3 u   2 u  
x xy
 ,   ,
 y z  x y z z   y z  x z
2
2
2
  2 u       
xz yz
  ,   .
y   y z  x y x   x z  x y
 xy   yz  2 u
Відмітимо, що  xz   2 .
z  y  x   y z
Звідси випливає, що
2
     xy   yz 
2 x    xz  . 
y z x   z y x 

Аналогічно можуть бути отримані й інші дві залежності:
42