Page 40 - 6383

u   u u 
du  dx  dy  dz ,
x  y  z 
  
d  dx  dy  dz , (16.26)
x  y  z 
  
d  dx  dy  dz .
x  y  z 

Для направляючих косинусів вектора AO  можна записати вираз в такому
вигляді:
2 2 2
 dx  du   dy  d   dz  d 
         , 1 (16.27)
     
 dr 1   dr 1   dr 1 
2 2 2 2
 dx  du   dy  d   dz  d   dr 1 
           .
 dr   dr   dr   dr 
Підставляючи (16.26) в (16.27) після перетворень, нехтуючи квадратами
перших похідних переміщень і їхніми похідними порівняно з лінійними і
кутовими деформаціями, отримаємо такий вираз:
2
 dr  2 2 2
1
   1  2  x l   y m   z n   xy lm  xz lп  yz mn . (16.28)
 dr 
Відносна деформація лінійного елементу dr визначається виразом
2
dr  dr dr dr  dr 
  1  1  . 1 Звідси 1  1 ,  а  1   1 2   2 .
dr dr dr  dr 
Оскільки ε — мала величина, то квадратом цієї величини порівняно з ε
можна нехтувати. Тому можна записати
2
 dr 1 
   1 2 . (16.29)
 dr 
Порівнюючи праві частини (16.28) і (16.29), отримаємо для ε наступний вираз:
2
2
2
   l   m   n   lm  lп  mn . (16.30)
x y z xy xz yz
Вираз (1.30) встановлює залежність між відносною деформацією ε в
напрямі, визначуваному направляючими косинусами l, т, п, і відносними
лінійними та кутовими деформаціями в системі координат х, у, z.
Порівнюючи отриманий вираз (16.30) для деформації в точці А в
довільному напрямі, визначуваному направляючими косинусами l, т, п, з
виразом (16.7) для нормального напруження σ ν до довільної площини, що має
нормаль ν з направляючими косинусами l, т, п, помічаємо схожість отриманих
виразів (16.7) і (16.30).
Вирази (16.7) і (16.30) мають однакову структуру. Нормальній напрузі σ x,
σ y, σ z у виразі (16.7) відповідають лінійні відносні деформації ε x, ε y, ε z у виразі
(16.30), а дотичним напруженням τ xy, τ xz, τ yz у виразі (16.7) – половини
відповідних кутових деформацій, тобто ½γ xy, ½γ yz, ½γ zx, у виразі (16.30).
Формальна аналогія між виразами (16.7) і (16.30) розповсюджується і на інші
співвідношення теорії напружень та теорії деформацій.
Тензор деформацій Т Д має такий же вигляд, як і тензор напружень Т Н:

40