Page 36 - 6383

  
x xy xz
   X  , 0
x y z
  
yx y yz
   Y  , 0 (16.22)
x y z
  
zx zy z
   Z  . 0
x y z
Перше з рівнянь (16.22) є умовою рівноваги всіх сил, що діють на
елементарний паралелепіпед у напрямі осі х, друге, – у напрямі осі у і третє— у
напрямі осі z. Ця система диференціальних рівнянь носить назву рівнянь Пав'е
— Коші.
Умови рівноваги моментів щодо осей х, у, z для виділеного

елементарного паралелепіпеда приводять до згадуваних вже співвідношень τ xy
= τ yх , τ yz = τ zy ,τ xz = τ zx закону парності дотичних напружень.
Часто завдання теорії пружності вирішуються в припущенні, що об'ємні
сили відсутні (X = Y = Z = 0). При цьому система рівнянь (16.22) набуває
вигляду

  
x xy xz
   , 0
x y z
  
yx y yz
   , 0 (16.23)
x y z
  
zx zy z
   . 0
x y z
Як наголошено вище, через закон парності (взаємності) дотичних
напружень у рівняннях (16.22) чи (16.23) є не дев'ять, а шість незалежних
складових, що характеризують напружений стан у точці тіла.
Умови рівноваги дають три диференціальні рівняння для визначення
шести невідомих складових напруження як функцій координат точки.
Оскільки рівнянь рівноваги недостатньо для визначення з них напружень
σ x, σ y, σ z, τ xy, τ xz, τ yz, то завдання теорії пружності є статично невизначеним, і для
його вирішення крім рівнянь рівноваги усередині тіла і умов на поверхні
необхідно мати ще додаткові рівняння, що встановлюють залежність між
деформаціями (рівняння спільності деформацій). Рівняння рівноваги на
поверхні і рівняння спільності деформацій будуть розглянуті в наступних
підрозділах.

16.2.7. Статичні умови на поверхні тіла

Природно, що напружений стан в точці тіла з координатами х, у, z
залежить від того, які зовнішні навантаження прикладені до поверхні тіла.
Тому напруження σ x, σ y, σ z, τ xy, τ xz, τ yz, повинні задовольняти не тільки умови
рівноваги для точок всередині тіла, але і умови рівноваги на поверхні.
Розглянемо умови рівноваги на поверхні тіла. Вони можуть бути отримані з
раніше розглянутої системи рівнянь (16.6) для визначення складових р x, р y, р z
напруження на похилій площині. Якщо припустити, що елементарна площина
dF поверхні тіла має нормаль ν з направляючими косинусами l, m, п, а
36