Page 35 - 6383

16.2.6. Диференціальних рівнянь рівноваги
Розглянемо рівновагу елементарного паралелепіпеда, вирізаного з тіла, що
перебуваєв напруженому стані під дією зовнішніх навантажень (рис. 1.8).
Розміри ребер паралелепіпеда dx, dy, dz. Враховуючи прийняте раніше
допущення про суцільність і однорідність матеріалу, ми можемо вважати, що
і напруження всередині тіла від однієї точки до іншої змінюватиметься
безперервно. Якщо на гранях паралелепіпеда, що збігаються з координатними
площинами, діятиме напруження σ x, σ y, σ z, τ xy, τ xz, τ yz, то на грані, віддаленій на

відстані dx від координатної площини zy, діятимуть напруження
  yx 
  x dx ,   dx ,   zx dx ,
x xy zx
x  x  x 
на грані, віддаленій від координатної площини zx на відстані dy,- напруження
 y  xy  zy
  dy ,   dy ,   dy,
y xy zy
y  y  y 
і, нарешті, на грані, віддаленій від координатної площини ху на відстані dz,
напруження будуть
   yz
  z dz ,   xz dz ,   dz .
z xz yz
z  z  z 
Позначимо проекції об'ємної сили, що доводиться на одиницю об'єму
тіла, через X, Y, Z.
Для твердого тіла можна записати шість рівнянь рівноваги: три рівняння—
умови рівноваги сил, що діють у напрямі трьох осей координат х, у, z, і три –
умови рівноваги моментів відносно цих осей.
Проектуючи всі сили на вісь х (див. рис. 16.15), матимемо

  x    xy    xz 
 x  dx dydz   xy  dy dxdz   xz  dz dxdy 


 x   dy   z 
 dydz  dxdz  dxdy  Xdxdydz  0 .
x xy xz

Рисунок 16.15 – Рівновага елементарного паралелепіпеда.

Аналогічно можна отримати суму проекцій всіх сил на осі у і z. Після
скорочення отримаємо таку систему диференціальних рівнянь рівноваги:

35