Page 31 - 6383

При цьому корені рівняння (16.15) представляють таким чином:
x  2 p cos  , x  2 p cos  120   ,
1 2
x  2 p cos  120   ,
3
де | р| — абсолютне значення коефіцієнта р, а
1  q
  arccos .
3 p 2 / 3

Для подальшого визначення основних напружень σ 1, σ 2, σ 3 знайдені
значення коренів x 1, x 2, x 3 підставляються у вираз (16.14).
Оскільки для кожної точки тіла є тільки три головні площини і
відповідно три головні напруження, то ці напруження не залежить від вибору
початкової системи координат і, відповідно, коефіцієнти I 1σ, I 2σ, I 3σ також не
залежать від вибору системи координат. Коефіцієнти I 1σ, I 2σ, I 3σ називають
першим, другим і третім інваріантами тензора напружень. Їх можна виразити
через головні напруження:
I 1σ = σ 1 + σ 2 + σ 3, I 2σ = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1,
I 3σ = σ 1 σ 2 σ 3 .
Якщо в результаті рішення кубічного рівняння (16.15) знайдені головні
напруження σ 1, σ 2, σ 3, то, підставивши кожне із знайдених значень у будь-які
два рівняння (16.4) і використовуючи геометричне співвідношення l²+m²+n²=1,
можемо визначити направляючі косинуси відповідних основних площин.
Покажемо на прикладі задачі. Визначити головні напруження σ 1, σ 2, σ 3 і
напрями основних площин, якщо напружений стан у точці задано такими
значеннями компонент напруження: σ x = 10 МПа, σ y = -20 МПа, σ z = 30 МПа, τ xy
= 20 МПа, τ yz = 30 МПа, τ zx = 40 МПа.
Рішення.
1. Визначаємо інваріанти I 1σ, I 2σ, I 3σ:
I     20МПа,
1 x y z
2
I        2  2  2   34 10 (МПа)²,
1 x y y z z x xy yz zx
3
I     2     2   2   2  53 10 (МПа)³.
3 x y z xy yz zx x yz y zz z xy
2. Визначаємо коефіцієнти p і q рівняння (16.15):
1 1 2  2 1 1 1
p   I 2  I 1    11 , 7777 10 , q   I 3  I I  I   38 , 12962  10 3 ,
3  3  27 1 6 1 2 2 3
,
  p 3 q 2   1633 , 734 1453 867  10 6 ;
∆<0 — всі три корені дійсні.
3. Обчислюємо корені рівняння (16.15) : x 1, x 2, x 3 і головні напруження σ 1,

σ 2, σ 3:
q 19 2 3
cos 3   2 / 3  , 0 943347 ,    6 2 8 , p  34 , 31875 , 2 p  68 , 63751 ,
p 3
cos   , 0 99364 , cos   120     , 0 59436 , cos   120     , 0 39928 ;
x  2 p  cos  68 , 20097 , x  2 p  cos   120    40 , 79539 ,
1 2
x  2 p  cos   120    27 , 40558 .
3

31