Page 34 - 6383

Отже, величина дотичного напруження τ ν залежить від двох незалежних
змінних l і т. Для визначення екстремуму цієї величини необхідно взяти
часткові похідні від τ ν по l і т і прирівняти їх до нуля:
2
  
 2 2 2 2
 2l  1  3   2  1  3   1  3  l  2  3 m  3  0 ,
l
2
  
 2 2 2 2
 2m   2  3   2  2  3  1  3   l  2  3 m   3  0 .
m
Після скорочення першого рівняння на ( σ 1 - σ 3 ), а другого на ( σ 2 - σ 3 )
отримаємо наступну систему рівнянь для знаходження значень l, т, п, що
задовольняють умову екстремуму дотичного напруження τ ν:

l{ σ 1 - σ 3 - 2[(σ 1 - σ 3) l² + (σ 2 - σ 3) m²] }= 0,
m{ σ 2 - σ 3 - 2[(σ 1 - σ 3) l² + (σ 2 - σ 3) m²] }= 0, (16.21)
l² + m² + n² - 1 = 0.
Умовам l = т = 0 і n = 1 відповідають основні площини, на яких дотичні
напруження рівні нулю. Якщо ж l ≠ 0, а т = 0, то друге рівняння
задовольняється за будь-якого значення l, а перше — задовольняється за умови
σ 1 - σ 3 - 2(σ 1 - σ 3) l² = 0,
звідки 2l² = 1, а l = ±1/ 2 . Тоді з третього рівняння (1.20) для п отримаємо п =
±1/ 2 . Аналогічно можна отримати при l = 0 і т ≠ 0 з першого рівняння т =
±1/ 2 і з третього також п = ±1/ 2 .
У результаті для кутів, що характеризують напрям площин екстремальних

дотичних напружень, отримаємо таблицю 16.4.
Перші три рядки таблиці відповідають напрямам нормалей ν, що
збігаються з головними осями координат.
Таблиця 16.4 – Напрям площин екстремальних дотичних напружень
l m n

0 0 ±1
0 ±1 0
±1 0 0
0  2 / 1  2 / 1
 2 / 1 0  2 / 1
 2 / 1  2 / 1 0

Інші три рядки відповідають площинам, що проходять через одну з
головних осей і що ділять кут між двома іншими навпіл. Отже, виявляється,
що площини екстремальних дотичних напружень складають з основних
площинами кут, рівний ±45°. Підставляючи у вираз (16.45) для τ² ν значення l, m,
n, що перетворюють його в екстремум, набудемо таких екстремальних значень
дотичних напружень:
        
 max   2 3 ,  max   1 3 ,  max   1 2 .
  
2 2 2
Оскільки σ 1 > σ 2 > σ 3, то τ max = ±(σ 1 — σ 3)/2.

34