Page 33 - 6383

напружень дорівнювало нулю, необхідно, щоб третій інваріант I 3σ був рівний
нулю. Тоді кубічне рівняння (1.11) перетворюється на квадратне:
σ² - I 1σ σ + I 2σ = 0.
Якщо не тільки третій, але і другий інваріант рівний нулю, то при цьому
два головні напруження рівні нулю. Такий напружений стан називають
одноосьовим.
Зазвичай прийнято нумерувати головні напруження в порядку видалення
їхніх значень: σ 1 > σ 2 > σ 3.

16.2.5. Найбільші дотичні напруження

Сумістимо осі координат х, у, z з напрямами раніше знайдених головних
напружень σ 1, σ 2, σ 3. Проведемо довільну площину ABC з площею dF і нормаллю
ν (рис. 16.14).
Нехай повне напруження, що діє на цій площині, рівне р ν, його складові
по осях х, у, z рівні р x, р y, р z а нормальне і дотичне напруження на площині dF
рівні σ ν і τ ν . Маємо очевидні рівняння
р² ν = р² x + р² y + р² z ,
(16.16)
р² ν =σ² ν + τ² ν .
З іншого боку, з (16.6) маємо
р x = σ 1l, р y = σ 2m, р z = σ 3n.
Після підставлення виразів для р x, р y, р z в (16.14) отримаємо
р² ν = σ² 1l² + σ² 2m² + σ² 3n² . (16.17)
Проектуючи р x, р y, р z на напрям ν, отримаємо вираз для σ ν :
σ ν =σ 1l² + σ 2m² + σ 3n². (16.18)
Далі, підставивши вирази (16.17), (16.18) в (16.16), знайдемо вираз для
дотичного напруження τ ν :
τ² ν = σ² 1l² + σ² 2m² + σ² 3n² - ( σ 1l² + σ 2m² + σ 3n² )². (16.19)
Підставивши рівність n² = 1 — l² — m², отримане з геометричного
співвідношення l² + m² + n² = 1, в (16.19), отримаємо такий вираз для τ² ν :
τ² ν = ( σ² 1 - σ² 3 ) l² + ( σ² 2 - σ² 3 ) m² +
+ σ² 3 - [ ( σ 1 - σ 3 ) l² + ( σ 2 - σ 3 ) m² + σ 3 ]². (16.20)

Рисунок 16.14 – Дотичні напруження на довільній площині

33