Page 32 - 6383

Обчислюємо σ 1, σ 2, σ 3 за формулою  x 1 3 I 1 :

  68 , 20097  20 3  74 , 87 МПа,    27 , 40558  20 3   20 , 74 МПа,
1 2
   40 , 79539 20   34 , 13 МПа.
3 3
Перевірка.  1  2  3 I 1  20 МПа,
2
       I   34 10 (МПа)²,
1 2 2 3 3 1 2
3
    I  53 10 (МПа)³.
1 2 3 3
4. Визначаємо направляючі косинуси основних площин. Для цього в
два з трьох рівнянь (16.9) підставляємо по черзі знайдені значення σ 1, σ 2, σ 3, а як
третій використовуємо геометричну рівність l i 2 m i 2 n i 2  , 1 де і = 1, 2, 3. Перша
система рівнянь для визначення l 1, m 1, n 1 має вигляд
10 74 , 87  l 20m  40n  , 0
1 1 1
20 l 20 74 , 87 m  30n  , 0
1 1 1
l 2  m 2  n 2  . 1
1 1 1
Рішення цієї системи рівнянь приводить до таких значень l 1, m 1, n 1: l 1 =
0,567525, m 1 = 0,354619, n 1 = 0,743073.
Аналогічно визначають направляючі косинуси двох інших основних
площин. Результати рішення зведемо в таблицю16.3.
Таблиця 16.3 – Направляючі косинуси головних площин

l, m, n\σ σ 1 = 74,87 МПа σ 2 = - 20,74 МПа σ 3 = - 34,13 МПа

l і 0,567525 0,821073 0,060981

m і 0,354619 0,175902 -0,918045
n і 0,743073 0,543042 0,391744

Для перевірки правильності знайдених значень направляючих косинусів
використовуємо умову ортогональності основних площин, тобто
l l  mm  nn  0 при i ≠ j.
i j i j i j
Для основних напружень σ 1, σ 2, σ 3 отримаємо відповідні значення
направляючих косинусів l 1, m 1, n 1; l 2, m 2, n 2; l 3, m 3, n 3, які і визначають
положення основних площин. Можна показати, що головні площини
ортогональні одна до одної, тобто задовольняються умови ортогональності
площин l il j + m im j + n in j = 0, де i, j = 1, 2, 3, причому i ≠ j.
Те, що основні площини є взаємно перпендикулярними, випливає також і
з закону парності дотичних напружень — дотичні напруження на всіх
основних площинах можуть бути рівні нулю тільки в тому випадку, якщо ці
площини взаємно ортогональні.
До цих пір розглядався загальний випадок трьохосьового напруженого
стану, коли всі три головні напруження σ 1, σ 2, σ 3 відмінні від нуля. Окремим
випадком є такий, коли одне з головних напружень рівне нулю. Такий

напружений стан називається двохосьовим. Для того щоб одне з основних

32