Page 30 - 6383

Використовуючи рівняння (1.6), отримаємо
σl = σ xl + τ xym + τ xzn,
σm = τ yxl + σ ym + τ yzn, (16.10)
σn = τ zxl + τ zym + σ zn.
Система однорідних рівнянь відносно l, m, n (1.8) може бути перетворена до
вигляду
(σ x — σ)l + τ ху т + τ xz п = 0,
τ уx l + (σ y — σ)m + τ yz п = 0, (16.11)
τ zx l + τ zу т + (σ z — σ) п = 0.
Для того, щоб система (16.11) мала відмінні від нуля рішення, необхідно,
щоб визначник цієї системи був рівний нулю, тобто

σ x — σ τ xy τ xz

τ yx σ y — σ τ yz =0 (16.12)

σ z —
τ zx τ zy σ
Визначника третього порядку (16.12) можна записати у вигляді кубічного
рівняння:
σ³ - I 1σ σ² + I 2σ σ + I 3σ = 0, (16.13)
де σ — шукані головні напруження, а через I 1σ, I 2σ, I 3σ позначені наступні
коефіцієнти:
I 1σ = σ x + σ y + σ z ,
I 2σ = σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x - τ² xy + τ² yz + τ² zx ,
I 3σ = σ xσ yσ z + 2τ xy τ yz τ zx - σ x τ² yz - σ y τ² zx - σ z τ² xy.

Для рішення кубічного рівняння (16.13) використовуємо наступну
підстановку:
σ = х + 1/3 I 1σ. (16.14)
Тоді рівняння (16.14) набуде вигляд
х³ + Зрх + 2q = 0 (16.15)
де
1  1 2 
p  I  2  I 1 , 
3  3 
1 1 1
3
q   I 1  I 1 I 2  I 3 .
27 6 2
Всі три корені кубічного рівняння (16.15) дійсні у тому випадку, якщо
дискримінант від’ємний:
∆ = р³ + q² < 0.
Якщо підставити відповідні числові значення коефіцієнтів I 1σ, I 2σ, I 3σ у
вирази для р і q і потім обчислити ∆, то можна переконатися в тому, що
дискримінант ∆ завжди від’ємний. Це впливає також і з фізичних міркувань —
основні напруження можуть бути тільки дійсними величинами.
При ∆ < 0 для вирішення кубічного рівняння застосовують так званий
тригонометричний метод.

30