Page 29 - 6383

Відповідь.    39 8 , МПа,    26 6 , МПа, p   47 9 , МПа.
Оскільки р x, р y, р z визначаються через σ x, σ y, σ z, ..., τ yz, то і дотичне
напруження τ ν також може бути визначене через компоненти напружень σ x, σ y,
..., τ yz.
Отже, на будь-якій похилій площині, що проходить через дану точку O,
нормальне і дотичне напруження можуть бути виражені через відомі
напруження σ x, σ y, ..., τ yz або, інакше кажучи, ці напруження повністю
характеризують напружений стан у даній точці тіла, вони є елементами так
званого тензора напружень.
Дамо визначення нового поняття тензорної величини. Якщо для кожної
прямокутної системи координат Oxyz є сукупність векторів R x, R y, R z, що

перетворюються у вектори R x’, R y’, R z’, що відповідають іншій системі
координат Ox'y'z', за формулами
R x’ = R x cos (x,^ х’) + R y cos (y,^ х’) + R z cos (z,^ х’),
R y’ = R x cos (x,^ y’) + R y cos (y,^ y’) + R z cos (z,^ y’),
R z’ = R x cos (x,^ z’) + R y cos (y,^ z’) + R z cos (z,^ z’),
то сукупність цих трьох векторів визначає нову величину, звану тензором.
Можна показати, що вектори повних напружень, що діють у площинах,
перпендикулярних до осей х, у, z в системі Oxyz, перетворяться у вектори
повних напружень, що діють у площинах, перпендикулярних до осей х', у', z' в
системі Ox'y'z', поверненій відносно системи Oxyz, в наведених вище формулах.
Це доводить, що напруження в точці є тензором. Тензор напруження
представлено матрицею

σ x τ xy τ xz
Т н = τ yx σ y τ yz

τ zx τ zy σ z

У матриці в кожному рядку складові (компоненти) тензора мають
однаковий напрям, а в кожному стовпці — належать до однієї і тієї ж
площини. Нормальні напруження розташовуються по головній діагоналі
матриці. Із закону парності дотичних напружень виходить, що матриця
симетрична відносно головної діагоналі. Такий тензор називається
симетричним.
Напружений стан у точці характеризується тензором напруження, а
напружений стан у тілі — сукупністю тензорів напружень, що створюють
тензорне поле.
Перейдемо тепер до визначення величин основних напружень і положень
основних площин. Основними називаються такі площини, на яких дотичні
напруження рівні нулю. Нормальні напруження, що діють на основних
площинах, називаються основними напруженнями.
Хай площина з нормаллю ν є основною. Нормальне напруження σ, що діє
в цій площині, є головним напруженням. У цьому разі повне напруження рівне
нормальному і, відповідно, напрямлене по нормалі до даної площини, тобто р ν =
σ. Складові повного напруження по осях х, у, z рівні р x = = σl, р y = σm, р z = σn.

29