Page 28 - 6383

Рисунок 16.13 – Основні напруження в похилій площині

Оскільки ми розглядаємо нескінченно малий тетраедр, то об'ємною
силою як нескінченно малою вищого порядку, ніж сили, що діють на грані,
можна нехтувати при складанні умов рівноваги тетраедра. З умов рівноваги
тетраедра отримаємо:
р x = σ xl + τ xym + τ xzn ,
р y = τ yxl + σ ym + τ yzn , (16.8)
р z = τ zxl + τ zym + σ zn .
Рівняння (16.8) дозволяють обчислити складові повного напруження р ν на
похилій площині, що проходить через дану точку, за відомими значеннями σ x,
σ y, σ z, τ xy, τ xz, τ yz складових напружень у цій точці і направляючих косинусів
нормалі до площини l, m, n.
Складові р x, р y, р z утворюють з нормаллю ν до похилої площини кути,
косинуси яких відповідно рівні l, т, п. Тому нормальне до площини
напруження σ ν через проекції р x, р y, р z повного напруження р ν можна визначити
за формулою σ ν = р xl + р ym + р zn, або
σ ν = σ xl² + σ ym² + σ zn² + 2τ xylm + 2τ xzln + 2τ yzmn. (16.9)
Дотичне напруження на похилій площині τ ν знайдемо з очевидної рівності
τ² ν = р² ν - σ² ν, де р² ν = р² x + р² y + р² z а σ ν визначається виразом (16.9).

Для прикладу розв’яжемо задачу. Визначити нормальне σ ν, дотичне τ ν і
повне p ν напруження на похилій площині з направляючими косинусами
l  , 2 / 3 т = 1/2, п = 0, якщо відомо, що σ x = 40 МПа, σ y = -30 МПа, σ z = 60
МПа, τ xy = 20 МПа, τ xz = -20 МПа, τ yz = 0.
2
2
2
Розв’язок. p  p  p  p 2 ,
 x y z
3 1
де p  l  m  n  40  20  44 6 , МПа,
xy
xz
x
x
2 2
3 1
p  l  m  n  20  30  3 , 2 МПа,
y yx y yz
2 2
3
p  l  m  n   20   17 3 , МПа,
z zx zy z
2
p  2  44 6 , 2  3 , 2 2   17  3 , 2  2294(МПа)², p   47 9 , МПа,
3 1
  p l  p m  p n  44 6 ,   3 , 2   39 8 , МПа,
 x y z
2 2
 2  p 2  2  2294 39 8 , 2  710(МПа)²,   26 6 , МПа.
   
28